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Technische Mechanik: Band 1: Statik

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b>Aus der Amazon.de-Redaktion Lesen allein reicht nicht, um den ältesten Teil der Physik, die Mechanik, zu begreifen. Und ohne Mathematik geht auch nichts. Nach diesen Vorwarnungen kommt die bessere Nachricht. Wie unsere Altvorderen mit Papier und Bleistift können Ingenieurstudenten nach der Lektüre Her- und Ableitungen ziehen und Aufgaben lösen. Dieses Buch ist dabei der richtige Ratgeber. Er bietet auch zahlreiche durchgerechnete Beispiele, die in Phasen des Verzweifelns wieder Boden unter die Füße bringen. Technische Mechanik 1 ist der erste Teil einer vierbändigen Lehrbuch-Reihe. Die weiteren Bände behandeln Elastostatik , Kinetik und Hydromechanik .

Technische Mechanik ist das Aufgabengebiet des konstruierenden und berechnenden Ingenieurs. Er muss Brücken oder Kräne, Gebäude oder Fahrzeuge statisch und dynamisch so analysieren, dass sie bestimmte Belastungen aushalten oder bestimmte Bewegungen ausführen können. Mit Hilfe der Statik lassen sich die Bedingungen untersuchen, die erfüllt sein müssen, damit ein Körper sich im Zustand relativer Ruhe befindet. Wie das funktioniert, es zu berechnen und zu bestimmen ist, macht dieses Lehrbuch auch mit vielen Zeichnungen deutlich. Zum Lese- und Studienprogramm gehören Kräfte, Körper, Lager, Trag- und Fachwerke, Haftung und Reibung, Balken und Bogen, um die wichtigsten Stichworte zu nennen. Guter Wille, Papier und Bleistift helfen weiter. -- Hans Jürgensen

Категорії:
Рік:
2008
Видання:
9., vollst. neu bearb. Aufl.
Видавництво:
Springer
Мова:
english
Сторінки:
299
ISBN 10:
3540340874
Серії:
Springer-Lehrbuch
Файл:
PDF, 6,37 MB
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1

Technische Mechanik: Band 1: Statik

Рік:
2008
Мова:
german
Файл:
PDF, 5,02 MB
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2

Technische Mechanik 3: Kinetik

Рік:
2004
Мова:
english
Файл:
PDF, 2,16 MB
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Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross
studierte Angewandte Mechanik und promovierte an
der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete
sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch
mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse
befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehrund Fachbücher.

Prof. Dr. Werner Hauger
studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an
der Universität Karlsruhe und promovierte an der
Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war
mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Universität der Bundeswehr in Hamburg und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen.
Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit
den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und Biomechanik. Er ist Autor von Lehrbüchern
und Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften.
Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder
studierte Bauingenieurwesen, promovierte an der
Universität Hannover und habilitierte an der Universität Stuttgart. Nach einer Professur für Mechanik
an der TU Darmstadt ist er seit 2001 Professor für
Mechanik an der Universität Duisburg-Essen. Seine
Arbeitsgebiete sind unter anderem die theoretische
und die computerorientierte Kontinuumsmechanik
sowie die phänomenologische Materialtheorie mit
Schwerpunkten auf der Formulierung anisotroper
Materialgleichungen und der Weiterentwicklung der
Finite-Elemente-Methode.
Prof. Dr.-Ing. Wolfgang A. Wall
studierte Bauingenieurwesen an der Universität
Innsbruck und promovierte an der Universität Stuttgart. Seit 2003 leitet er den Lehrstuhl für Numerische
Mechanik an der Fakultät Maschinenwesen der TU
München. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderem
die numerische Strömungs- und Strukturmechanik.
Schwerpunkte dabei sind gekoppelte Mehrfeld- und
Mehrskalenprobleme mit Anwendungen, die sich
von der Aeroelastik bis zur B; iomechanik erstrecken.

Dietmar Gross · Werner Hauger
Jörg Schröder · Wolfgang A. Wall

Technische Mechanik
Band 1: Statik
9., vollständig neu bearbeitete Auflage

Mit 184 Abbildungen

123

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross
Prof. Dr. Werner Hauger
Prof. Dr. rer. nat. Dr.-Ing. E.h. Walter Schnell †
Institut für Mechanik
Technische Universität Darmstadt
Hochschulstraße 1
64289 Darmstadt

Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder

Prof. Dr. Wolfgang A. Wall

Institut für Mechanik
Universität Duisburg-Essen
Campus Essen
Universitätsstraße 15
45117 Essen

Lehrstuhl für Numerische Mechanik
Technische Universität München
Boltzmannstraße 15
85747 Garching

Die 2. Auflage erschien 1989 in der Reihe Heidelberger Taschenbücher“ als Band 215
”
Vorauflage erschienen unter Gross, Hauger, Schnell, Schröder: Technische Mechanik 1“
”
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-34087-4 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-34087-4 Springer Berlin Heidelberg New York
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung
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VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für
die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für
die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung
hinzuzuziehen.
Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen der Autoren
Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig
Umschlaggestaltung: design & production GmbH, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem Papier

SPIN: 11596233

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort
Die Statik stellt den ersten Teil eines vierbändigen Lehrbuches der
Technischen Mechanik dar. Sie wird gefolgt von der Elastostatik,
der Kinetik und einem Band, der sich mit der Hydromechanik,
Elementen der Höheren Mechanik und Numerischen Methoden
befasst.
Ziel des Buches ist es, an das Verstehen der wesentlichen Grundgesetze und Methoden der Mechanik heranzuführen. Auch soll es
zur Entwicklung der Fähigkeit beitragen, mit Hilfe der Mechanik
Ingenieurprobleme zu formulieren und selbständig zu lösen.
Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von
den Verfassern für Studierende aller Ingenieur-Fachrichtungen gehalten wurden. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Umfang
an den Mechanik-Kursen deutschsprachiger Hochschulen. Bei Beschränkung auf das unumgänglich Notwendige wurde bewusst so
manches wünschenswerte Detail einer ausführlicheren Darstellung
des Grundlegenden geopfert. Ohne unpräzise zu sein, haben wir
einen möglichst einfachen Zugang zur Mechanik gewählt, der den
unterschiedlichen Eingangskenntnissen der heutigen Studienanfänger gerecht wird. Uns kam es vor allem darauf an, ein tragfähiges Fundament zu legen, das in den Ingenieurfächern genutzt werden kann und das ein tieferes Eindringen in weitergehende Gebiete
der Mechanik ermöglicht.
Die Mechanik ist nicht durch reine Lektüre erlernbar. Dieses
Buch sollte deshalb als echtes Arbeitsmittel verwendet werden.
Der Leser muss sich schon die Mühe machen, mit Bleistift und Papier die eine oder andere Herleitung nachzuvollziehen. Vor allem
kann die Anwendung der scheinbar so leichten Gesetzmäßigkeiten nur durch selbständiges Lösen von Aufgaben gelernt werden.
Diesem Zweck dienen auch die durchgerechneten Beispiele.
Die freundliche Aufnahme, welche dieses Buch gefunden hat,
macht eine Neuauflage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um
eine Reihe von Verbesserungen und Ergänzungen vorzunehmen.

VI

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau Heike Herbst, die mit
großer Sorgfalt die Zeichnungen anfertigte. Wir danken auch dem
Springer-Verlag für das Eingehen auf unsere Wünsche und für die
ansprechende Ausstattung des Buches.
Darmstadt, Essen und München, im Juli 2006

D. Gross
W. Hauger
J. Schröder
W.A. Wall

Inhaltsverzeichnis
Einführung.................................................................

1

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Grundbegriffe
Die Kraft .........................................................
Eigenschaften und Darstellung der Kraft ...................
Der starre Körper ...............................................
Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip ........................
Wechselwirkungsgesetz ........................................
Dimensionen und Einheiten ...................................
Lösung statischer Probleme, Genauigkeit ..................
Zusammenfassung ..............................................

7
7
9
11
14
15
16
18

2
2.1
2.2

Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Zusammensetzung von Kräften in der Ebene..............
Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung ...........................................................
Gleichgewicht in der Ebene ...................................
Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen ..................
Zentrale Kräftegruppen im Raum ...........................
Zusammenfassung ..............................................

2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3

21
24
28
29
37
44

Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren
Körpers
Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene ....................
47
Kräftepaar und Moment des Kräftepaares .................
47
Moment einer Kraft ............................................ 52
Die Resultierende ebener Kraftsysteme .....................
54
Gleichgewichtsbedingungen ................................... 56
Grafische Zusammensetzung von Kräften: das Seileck ..
65
Allgemeine Kräftegruppen im Raum ........................ 70
Der Momentenvektor........................................... 70
Gleichgewichtsbedingungen ................................... 76
Dyname, Kraftschraube ....................................... 82
Zusammenfassung .............................................. 88

VIII

4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Schwerpunkt
Schwerpunkt einer Gruppe paralleler Kräfte ...............
91
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers .....
94
Flächenschwerpunkt ............................................ 99
Linienschwerpunkt .............................................. 110
Zusammenfassung .............................................. 112

5
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.4

Lagerreaktionen
Ebene Tragwerke................................................
Lager ..............................................................
Statische Bestimmtheit ........................................
Berechnung der Lagerreaktionen.............................
Räumliche Tragwerke ..........................................
Mehrteilige Tragwerke .........................................
Statische Bestimmtheit ........................................
Dreigelenkbogen ................................................
Gelenkbalken.....................................................
Kinematische Bestimmtheit...................................
Zusammenfassung ..............................................

115
115
118
121
123
126
126
132
135
138
144

6
6.1
6.2
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.4

Fachwerke
Statische Bestimmtheit ........................................
Aufbau eines Fachwerks .......................................
Ermittlung der Stabkräfte .....................................
Knotenpunktverfahren .........................................
Cremona-Plan ...................................................
Rittersches Schnittverfahren ..................................
Zusammenfassung ..............................................

147
149
151
151
157
162
165

7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2

Balken, Rahmen, Bogen
Schnittgrößen ....................................................
Schnittgrößen am geraden Balken ...........................
Balken unter Einzellasten......................................
Zusammenhang zwischen Belastung
und Schnittgrößen ..............................................
Integration und Randbedingungen...........................
Übergangsbedingungen bei mehreren Feldern .............

7.2.3
7.2.4

169
173
174
180
182
187

IX

7.2.5
7.2.6
7.3
7.4
7.5

Föppl-Symbol ....................................................
Punktweise Ermittlung der Schnittgrößen..................
Schnittgrößen bei Rahmen und Bogen .....................
Schnittgrößen bei räumlichen Tragwerken .................
Zusammenfassung ..............................................

8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

Arbeit
Arbeitsbegriff und Potential ..................................
Der Arbeitssatz..................................................
Gleichgewichtslagen und Kräfte bei beweglichen Systemen ................................................................
Ermittlung von Reaktions- und Schnittkräften ............
Stabilität einer Gleichgewichtslage ..........................
Zusammenfassung ..............................................

223
229
234
246

9
9.1
9.2
9.3
9.4

Haftung und Reibung
Grundlagen .......................................................
Die Coulombschen Reibungsgesetze.........................
Seilhaftung und Seilreibung ...................................
Zusammenfassung ..............................................

249
251
261
266

A
A.1
A.1.1
A.1.2
A.1.3
A.1.4
A.2

Vektoren, Gleichungssysteme
Elemente der Vektorrechnung ................................
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ............
Addition und Subtraktion von Vektoren ....................
Skalarprodukt ....................................................
Vektorprodukt ...................................................
Lineare Gleichungssysteme ....................................

268
271
271
272
273
275

193
197
201
207
212

215
221

Englische Fachausdrücke .............................................. 281
Sachverzeichnis .......................................................... 289

Einführung
Die Mechanik ist der älteste und am weitesten entwickelte Teil
der Physik. Als eine wichtige Grundlage der Technik nimmt ihre
Bedeutung wegen der laufenden Erweiterung ihrer Anwendungsgebiete immer mehr zu.
Die Aufgabe der Mechanik ist die Beschreibung und Vorherbestimmung der Bewegungen von Körpern sowie der Kräfte, die mit
diesen Bewegungen im Zusammenhang stehen. Technische Beispiele für solche Bewegungen sind das rollende Rad eines Fahrzeuges, die Strömung einer Flüssigkeit in einem Kanal, die Bahn eines
Flugzeuges oder die eines Satelliten. Bewegungen“ im verallge”
meinerten Sinn sind aber auch die Durchbiegung einer Brücke oder
die Deformation eines Bauteiles unter der Wirkung von Lasten.
Ein wichtiger Sonderfall der Bewegung ist der Zustand der Ruhe.
Ein Gebäude, ein Damm oder ein Fernsehturm sollen schließlich so
bemessen sein, dass sie sich gerade nicht bewegen oder einstürzen.
Die Mechanik gründet sich auf einige wenige Naturgesetze von
axiomatischem Charakter. Darunter versteht man Aussagen, die
vielfachen Beobachtungen entnommen sind und aus der Erfahrung
heraus als richtig angesehen werden; auch ihre Folgerungen werden
durch die Erfahrung bestätigt. In diesen Naturgesetzen und den
daraus folgenden Sätzen werden über mechanische Größen, wie
Geschwindigkeit, Masse, Kraft, Impuls, Energie, welche die mechanischen Eigenschaften eines Systems bzw. die Wirkungen auf
dieses System beschreiben, Aussagen gemacht, oder diese Begriffe
werden miteinander verknüpft.
Sowohl in den Naturgesetzen selbst als auch in deren Anwendungen werden nicht reale Körper oder reale technische Systeme
mit ihren vielfältigen Eigenschaften betrachtet, sondern es werden
Modelle untersucht, welche die wesentlichen mechanischen Merkmale der realen Körper oder Systeme besitzen. Beispiele hierfür
sind Idealisierungen wie starrer Körper oder Massenpunkt. Ein
realer Körper oder ein technisches Bauteil sind natürlich immer
in gewissem Maße deformierbar. Man wird sie jedoch dann als
nichtverformbar, d.h. als starre Körper auffassen können, wenn die
Deformationen keine wesentliche Rolle bei der Beschreibung eines

2

Einführung

mechanischen Vorganges spielen. Sollen der Wurf eines Steines
oder die Bewegung eines Planeten im Sonnensystem untersucht
werden, so ist es meist hinreichend, diese Körper als Massenpunkte anzusehen, da ihre Abmessungen sehr klein im Vergleich zu den
zurückgelegten Wegen sind.
Als exakter Sprache bedient sich die Mechanik der Mathematik.
Erst sie ermöglicht präzise Formulierungen ohne Bindung an einen
bestimmten Ort oder an eine bestimmte Zeit, und sie versetzt
uns in die Lage, mechanische Vorgänge zu beschreiben und zu
erfassen. Will ein Ingenieur ein technisches Problem mit Hilfe der
Mechanik lösen, so hat er das reale technische System zunächst auf
ein Modell abzubilden, das dann unter Anwendung der mechanischen Grundgesetze mathematisch analysiert werden kann. Die
mathematische Lösung ist schließlich wieder zurück zu übersetzen,
d.h. mechanisch zu interpretieren und technisch auszuwerten.
Da es zunächst auf das Erlernen der Grundgesetze und ihrer
richtigen Anwendung ankommt, werden wir die Frage der Modellbildung, die viel Können und Erfahrung voraussetzt, meist ausklammern. Die mechanische Analyse idealisierter Systeme, in denen der reale technische Ausgangspunkt manchmal nicht mehr erkennbar ist, ist jedoch nicht wirklichkeitsfremde Spielerei, sondern
sie soll den angehenden Ingenieur in die Lage versetzen, später
praktische Probleme mit Hilfe der Theorie selbständig zu lösen.
Eine Einteilung der Mechanik kann nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen. So spricht man je nach dem Aggregatzustand der Körper von der Mechanik fester Körper, der Mechanik
flüssiger Körper und der Mechanik gasförmiger Körper. Die festen
Körper, mit denen wir uns hier ausschließlich beschäftigen, kann
man wieder unterteilen in starre Körper, elastische Körper oder
plastische Körper; bei den flüssigen Körpern unterscheidet man
zum Beispiel reibungsfreie und viskose Flüssigkeiten. Die Eigenschaften starr, elastisch oder viskos sind dabei wieder Idealisierungen, durch welche die wesentlichen Eigenschaften der realen
Körper mathematisch erfassbar werden.
Nach der Grundaufgabe, nämlich der Untersuchung von Kräften und Bewegungen, unterteilt man die Mechanik auch in Kinematik und Dynamik. Die Kinematik (griech. kinesis = Bewegung)

Einführung

3

ist dabei die Lehre vom geometrischen und zeitlichen Bewegungsablauf, ohne dass auf Kräfte als Ursache oder Wirkung der Bewegung eingegangen wird. Die Dynamik (griech. dynamis = Kraft)
beschäftigt sich dagegen mit den Kräften und den mit ihnen im
Zusammenhang stehenden Bewegungen. Die Dynamik unterteilt
man in die Statik und die Kinetik. Dabei befasst sich die Statik
(lat. status = Stehen) mit den Kräften und dem Gleichgewicht
(Sonderfall der Ruhe), während die Kinetik tatsächliche Bewegungen unter der Wirkung von Kräften untersucht.
Daneben unterteilt man die Mechanik auch noch in Analytische Mechanik und Technische Mechanik. Die Analytische Mechanik untersucht die mechanischen Vorgänge mit den analytischen
Hilfsmitteln der Mathematik und dem Ziel, zu prinzipiellen Einsichten und Gesetzmäßigkeiten zu gelangen. Das Detailproblem ist
dabei untergeordnet. Unter Technischer Mechanik versteht man
dagegen eine Mechanik, die sich auf die Probleme und Ansprüche
des konstruierenden und berechnenden Ingenieurs konzentriert.
Er muss Brücken, Kräne, Gebäude, Maschinen, Fahrzeuge oder
Komponenten von Mikrosystemen statisch und dynamisch so analysieren, dass sie bestimmte Belastungen ertragen oder bestimmte
Bewegungen ausführen können.
In der geschichtlichen Entwicklung ist der Ursprung der Mechanik in der griechischen Antike anzusiedeln, obwohl sich natürlich
die Menschen bei Werkzeugen und Geräten schon viel früher ihrer
durch Erfahrung gewonnenen mechanischen Erkenntnisse bedienten. Durch die Arbeiten von Archimedes (287–212) über Hebel,
Flaschenzug, Schwerpunkt und Auftrieb wurden einige Grundsteine für die Statik gelegt, zu denen jedoch bis zur Renaissance nichts
Bemerkenswertes hinzukam. Weitere Fortschritte erzielten Leonardo da Vinci (1452–1519) mit Betrachtungen über das Gleichgewicht auf der schiefen Ebene und Simon Stevin (1548–1620)
mit seiner Erkenntnis des Gesetzes der Kräftezusammensetzung.
Die ersten Untersuchungen zur Bewegungslehre gehen auf Galileo Galilei (1564–1642) zurück, der die Fallgesetze fand; zu ihnen
kamen die Gesetze der Planetenbewegung von Johannes Kepler
(1571–1630) und die vielfältigen Arbeiten von Christian Huygens

4

Einführung

(1629–1695). Sie mündeten in die Formulierung der Bewegungsgesetze durch Isaac Newton (1643–1727). Hier setzte eine stürmische
Entwicklung ein, die einherging mit der Entwicklung der Analysis
und die mit der Familie Bernoulli (17. und 18. Jhdt.), mit Leonhard Euler (1707–1783), Jean Lerond D’Alembert (1717–1783)
und Joseph Louis Lagrange (1736–1813) verbunden ist. Infolge
der Fortschritte der analytischen und numerischen Methoden –
letztere besonders gefördert durch die Computerentwicklung – erschließt die Mechanik heute immer weitere Gebiete und immer
komplexere Problemstellungen einer exakten Analyse. Gleichzeitig
dringt sie durch ihre Methodik der Modellbildung und mathematischen Analyse auch in Teile von früher rein beschreibenden Wissenschaften, wie Medizin, Biologie oder Sozialwissenschaften ein.

Kapitel 9
Haftung und Reibung

9

9 Haftung und Reibung
9.1
9.2
9.3
9.4

Grundlagen .......................................................
Die Coulombschen Reibungsgesetze ........................
Seilhaftung und Seilreibung ..................................
Zusammenfassung ..............................................

249
251
261
266

Lernziele: Körper die sich berühren üben eine Kontaktkraft aufeinander aus. Diese ist normal zur Berührungsebene, wenn
die Oberflächen ideal glatt sind. Bei rauhen Oberflächen tritt
dagegen auch eine Tangentialkomponente auf. Die Studierenden
sollen erkennen, dass diese Komponente eine Reaktionskraft ist,
wenn die Körper aneinander haften. Im Unterschied dazu liegt
eine eingeprägte Kraft vor, wenn die Körper aneinander gleiten
(reiben). Die Leser sollen in die Lage versetzt werden, das Coulombsche Haftungs- bzw. Reibungsgesetz richtig anzuwenden und
mit seiner Hilfe die Kräfte in Systemen mit Berührungskontakt
sachgerecht zu ermitteln.

9.1

Grundlagen

249

9.1

9.1 Grundlagen
Bisher wurde angenommen, dass alle betrachteten Körper eine
glatte Oberfläche haben. Zwischen zwei solchen Körpern können
nach Abschnitt 2.4 nur Kräfte normal zur Berührebene übertragen
werden. Diese Idealisierung beschreibt das mechanische Verhalten
dann richtig, wenn die in Wirklichkeit infolge der Rauhigkeit der
Oberfläche auftretenden Tangentialkräfte vernachlässigt werden
können. Mit den Eigenschaften der tangentialen Kräfte soll sich
dieses Kapitel beschäftigen. Hierzu betrachten wir zunächst ein
einfaches Beispiel.
Eine Kiste vom Gewicht G steht nach Abb. 9.1a auf einer rauhen Unterlage. Bringt man zusätzlich eine horizontale Kraft F an,
so zeigt die Erfahrung, dass für kleine Werte von F die Kiste in
Ruhe bleibt. Infolge der rauhen Oberfläche kann zwischen Kiste
und Boden eine tangentiale Kraft übertragen werden, welche eine
Bewegung der Kiste verhindert. Da die Kiste dann am Boden haf”
tet“, nennt man diese tangentiale Kraft häufig Haftreibungskraft
H.
Mit dem Freikörperbild (Abb. 9.1b) folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen
↑: N = G,

→: H = F .

(9.1)

Das Momentengleichgewicht liefert die Lage von N , die wir jedoch
hier nicht benötigen.
Bewegungsrichtung

G

111111
000000
000000
111111

G

G

F

rauh
a

F

F
R

H
b

a

N

c

N

Abb. 9.1

Wenn die Kraft F einen gewissen Grenzwert überschreitet, tritt
Bewegung ein (Abb. 9.1c). Infolge der Rauhigkeit wird auch bei
der Bewegung eine tangentiale Kraft vom Boden auf die Kiste übertragen. Da die Kiste beim Gleiten gegenüber dem Boden

250

9 Haftung und Reibung

reibt“, nennt man diese Kraft oft Gleitreibungskraft R. Sie sucht
”
die Bewegung zu verhindern und wirkt daher entgegengesetzt zur
Bewegungsrichtung. Zählt man die Beschleunigung a positiv nach
rechts, so tritt jetzt an die Stelle der zweiten Gleichgewichtsbedingung (9.1) die Grundgleichung der Kinetik (vgl. Band 3)

Masse mal Beschleunigung =
Kräfte ,
d.h. im Beispiel
ma = F − R.

(9.2)

Dabei ist die Reibungskraft R zunächst noch unbekannt.
Wenn auch Haftreibung und Gleitreibung beide ihre Ursachen
in der Rauhigkeit der Oberfläche haben, so sind sie doch ihrem
Wesen nach grundsätzlich verschieden. Die Haftreibungskraft H
ist eine Reaktionskraft, die sich bei statisch bestimmten Problemen aus Gleichgewichtsbedingungen ohne zusätzliche physikalische Aussagen berechnen lässt. Dagegen ist die Gleitreibungskraft
R eine eingeprägte Kraft, die von der Oberflächenbeschaffenheit
der Körper abhängt. Um diesen wesentlichen Unterschied stets gegenwärtig zu behalten, wollen wir von nun an die Reibung in der
Ruhelage (= Haftreibung) mit Haftung, die Reibung bei der Bewegung (= Gleitreibung) mit Reibung bezeichnen. Entsprechend
nennen wir H die Haftungskraft und R die Reibungskraft.
Die Reibungserscheinungen verändern sich stark, wenn zwischen die Körper andere Stoffe gebracht werden. Jeder Auto- oder
Radfahrer kennt die Unterschiede, ob er auf trockener, nasser oder
gar vereister Straße fährt. Durch Schmiermittel kann man die Reibung bei sich gegeneinander bewegenden Maschinenteilen erheblich herabsetzen. Wir werden uns mit der diesen Erscheinungen zugrundeliegenden Flüssigkeitsreibung“ nicht beschäftigen, da wir
”
die Hydromechanik im Rahmen dieser Einführung nicht behandeln.
Alle folgenden Untersuchungen beschränken sich auf die sogenannte trockene Reibung, wie sie infolge der Rauhigkeit an der
Oberfläche jedes festen Körpers auftritt.

9.2

Die Coulombschen Reibungsgesetze

251

Haftung und Reibung haben große praktische Bedeutung: nur
durch Haftung ist überhaupt eine Fortbewegung auf festem Boden
möglich. Auch die Antriebsräder eines Fahrzeuges haften in der
momentanen Berührfläche an der Fahrbahn, und an der Berührstelle wird die zum Beschleunigen oder Abbremsen notwendige
Kraft übertragen. Falls diese Haftkraft, z.B. bei Glatteis, nicht
aufgebracht werden kann, rutschen die Räder, und der gewünschte Bewegungszustand wird nicht erreicht. Jede Schraube und jeder
Nagel erfüllen ihre Aufgabe nur dadurch, dass sie infolge Rauhigkeit haften. Durch künstliche Vergrößerung der Unebenheiten der
Oberflächen wird beim Dübel dieser Effekt verstärkt.
Auf der anderen Seite ist die Reibung häufig unerwünscht,
da sie mit Energieverlusten verbunden ist. An der Berührfläche
tritt Erwärmung auf, d.h. mechanische Energie wird in thermische
Energie umgewandelt. Während man die Haftung z.B. auf glatter
Straße durch Streuen von Sand zu erhöhen sucht, vermindert man
umgekehrt bei rotierenden Maschinenteilen die Reibung durch die
schon erwähnten Schmiermittel. Man erkennt auch hieran wieder, dass man Haftung und Reibung sorgfältig getrennt betrachten
muss.

9.2

9.2 Die Coulombschen Reibungsgesetze
Wir betrachten zunächst die Haftung und greifen hierzu nochmals
auf das Problem in Abb. 9.1b zurück. Solange F unterhalb eines
Grenzwertes F0 bleibt, ist H = F . Bei der Grenzlast F0 nimmt
H seinen maximalen Wert H0 an. Durch Experimente wurde von
Charles Augustine de Coulomb (1736–1806) gezeigt, dass dieser
Grenzwert in erster Näherung proportional zur Normalkraft N
ist:
H0 = µ0 N .

(9.3)

Den Proportionalitätsfaktor µ0 nennt man Haftungskoeffizient. Er
hängt nur von der Rauhigkeit der sich berührenden Flächen und
nicht von ihrer Größe ab. Die Tabelle 9.1 gibt einige Zahlenwerte

252

9 Haftung und Reibung

an. Dabei muss beachtet werden, dass die aus Versuchen ermittelten Zahlenwerte nur in gewissen Toleranzgrenzen angegeben werden können; so kann z.B. der Wert für Holz auf Holz“ noch stark
”
nach Holzart und Verarbeitung der Oberflächen schwanken.
Tabelle 9.1

Haftungs-

Reibungs-

koeffizient µ0

koeffizient µ

Stahl auf Eis

0, 03

0, 015

Stahl auf Stahl

0, 15 . . . 0, 5

0, 1 . . . 0, 4

Stahl auf Teflon

0, 04

0, 04

Leder auf Metall

0, 4

0, 3

Holz auf Holz

0, 5

0, 3

Autoreifen auf Straße

0, 7 . . . 0, 9

0, 5 . . . 0, 8

Ski auf Schnee

0, 1 . . . 0, 3

0, 04 . . . 0, 2

Ein Körper haftet, solange die Haftbedingung
H ≤ H0 = µ0 N

(9.4a)

erfüllt ist. Der Richtungssinn von H ist stets so, dass die Bewegung
verhindert wird. Bei komplizierten Aufgaben kann man manchmal
diese Richtung nicht sofort erkennen und muss sie deshalb beliebig
annehmen; die Rechnung wird zeigen, ob die Annahme richtig war
(Vorzeichen). Es gilt daher allgemein
|H| ≤ H0 = µ0 N .

(9.4b)

Die Normalkraft N und die Haftungskraft H kann man nach
Abb. 9.2a zu einer resultierenden Kraft W zusammensetzen. Ihre
Richtung ist durch den Winkel ϕ gegeben, der sich aus
tan ϕ =

H
N

bestimmen lässt.

9.2

Die Coulombschen Reibungsgesetze

253

Bezeichnen wir im Grenzfall H = H0 den Grenzwinkel ϕG mit
0 , so wird
tan ϕG = tan 0 =

µ0 N
H0
=
= µ0 .
N
N

Den Winkel 0 nennt man auch Haftungswinkel“; er ist ein Maß
”
für den Haftungskoeffizienten:
tan 0 = µ0 .

(9.5)
n

N ϕ
Abb. 9.2

H
W

a

0

b

n

Berührungsfläche

0

ϕ

W

Trägt man beim ebenen Problem den Haftungswinkel 0 nach
beiden Seiten der Normalen n auf, so entsteht ein Haftungskeil“
”
(Abb. 9.2b). Solange W innerhalb des Keiles liegt, ist H < H0 ,
und der Körper bleibt damit in Ruhe.
Der Haftungswinkel 0 hat auch im Raum eine anschauliche
Bedeutung. Wird ein Körper einer beliebig gerichteten Belastung
unterworfen, so bleibt er in Ruhe, solange die Reaktionskraft W
an der Berührfläche innerhalb des sogenannten Haftungskegels“
”

Abb. 9.3

254

9 Haftung und Reibung

wirkt. Dieser Rotationskegel um die Normale n der Berührflächen
hat den Öffnungswinkel 20 . Liegt W innerhalb des Kegels, so ist
ϕ < 0 und damit |H| < H0 (Abb. 9.3).
Falls W außerhalb des Kegels fällt, ist kein Gleichgewicht mehr
möglich: der Körper wird sich bewegen. Die hierbei auftretenden
Reibungserscheinungen wollen wir jetzt beschreiben. Für die bei
der Bewegung auftretende Reibungskraft R hat ebenfalls Coulomb
durch Versuche gefunden, dass sie in guter Näherung
a) proportional zur Normalkraft N (Proportionalitätsfaktor µ)
und
b) unabhängig von der Geschwindigkeit und ihr entgegengesetzt
gerichtet ist.
Somit lautet das Reibungsgesetz
R = µN .

(9.6)

Den Faktor µ nennt man Reibungskoeffizient; er ist meistens etwas
kleiner als µ0 (vgl. Tabelle 9.1).
Will man die Richtung von R formelmäßig mit erfassen, so führt
man einen Einheitsvektor v/|v| in Richtung der Geschwindigkeit
v ein. Das Coulombsche Reibungsgesetz lautet dann
v
,
R = −µN
|v|
wobei das Minuszeichen kennzeichnet, dass die Reibkraft entgegen
der Geschwindigkeit wirkt. Ihr Richtungssinn kann also nicht wie
bei der Haftungskraft beliebig angenommen werden.
Wenn sich der Körper K und seine Unterlage U bewegen (z.B.
Schüttgut rutscht auf einem Förderband), so hängt das Vorzei-

U

v1

v1

v1

v1

K

K

K

K

R
v2 = 0

U

R

U
v2

R
v2
v2 < v1

U

R
v2
v2 > v1
Abb. 9.4

9.2

Die Coulombschen Reibungsgesetze

255

chen der Reibungskraft von der Relativgeschwindigkeit, d.h. von
der Differenz der Geschwindigkeiten v1 und v2 (vgl. Band 3) ab.
Abbildung 9.4 zeigt, welche Richtung die Reibungskraft auf den
Körper jeweils annimmt.
Zusammenfassend müssen folgende drei Fälle unterschieden werden:
Der Körper bleibt in Ruhe; die
a) Haftung“
”
Haftungskraft H folgt aus GleichH < µ0 N
gewichtsbedingungen.
b)

Grenzhaftung“
”
H = µ0 N

Der Körper bleibt gerade noch in Ruhe.
Wenn man ihn anstößt, wird er sich jedoch wegen µ < µ0 in Bewegung setzen.

c)

Reibung“
”
H = µN

Rutscht ein Körper, so wirkt die Reibungskraft R als eingeprägte Kraft.

Bei der Behandlung von Haftungsaufgaben muss zwischen statisch bestimmten und statisch unbestimmten Problemen unterschieden werden. Bei statisch bestimmten Problemen kann man in
einem ersten Schritt die Reaktionskräfte H und N aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. Anschließend lässt sich in einem
zweiten Schritt überprüfen, ob die Haftbedingung (9.4b) erfüllt
ist oder nicht. Bei statisch unbestimmten Problemen ist die Bestimmung der Reaktionskräfte H und N nicht möglich. Man kann
in diesem Fall nur die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen sowie
die Haftbedingungen an den Stellen, an denen Haftung auftritt,
formulieren. Anschließend muss man dieses System von algebraischen Gleichungen und Ungleichungen behandeln. Es ist dann allerdings oft einfacher, nur den Haftgrenzfall zu untersuchen.
Auf einer rauhen schiefen Ebene (Neigungswinkel α,
Haftungskoeffizient µ0 ) nach Abb. 9.5a ruht ein Klotz vom Gewicht G, an dem zusätzlich eine Kraft F angreift.
Zwischen welchen Grenzen muss F liegen, damit der Klotz in
Ruhe bleibt?

Beispiel 9.1

Lösung Für eine große positive Kraft F würde sich der Klotz ohne

B9.1

256

9 Haftung und Reibung

111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111

F

F

α

α

G

N

H

H

N

G

α

a

F

b

G
c

Abb. 9.5

Haftung nach oben bewegen. Die Haftungskraft H zeigt in diesem
Fall nach unten (Abb. 9.5b). Aus den Gleichgewichtsbedingungen
 : F − G sin α − H = 0 ,

 : N − G cos α = 0

berechnen wir die Haftungskraft und die Normalkraft:
H = F − G sin α ,

N = G cos α .

Um festzustellen, wann die Haftbedingung erfüllt ist, setzen wir
in (9.4a) ein:
F − G sin α ≤ µ0 G cos α → F ≤ G(sin α + µ0 cos α) .
Mit dem Haftungswinkel 0 nach (9.5) lässt sich dies umschreiben
zu
sin(α + 0 )
.
(a)
F ≤ G (sin α + tan 0 cos α) = G
cos 0
Wird F zu klein, so würde der Klotz ohne Haftung infolge seines
Gewichtes nach unten rutschen. Die Haftungskraft, die dies verhindert, muss dann nach Abb. 9.5c nach oben zeigen. Wir erhalten
in diesem Fall aus den Gleichgewichtsbedingungen
 : F − G sin α + H = 0 ,
und der Haftbedingung
H ≤ µ0 N
die Ungleichung
G sin α − F ≤ µ0 G cos α
oder

 : N − G cos α = 0

9.2

Die Coulombschen Reibungsgesetze

F ≥ G (sin α−µ0 cos α) = G

sin(α − 0 )
.
cos 0

257

(b)

Zusammenfassung der Ergebnisse nach (a) und (b) zeigt, dass die
Kraft F im Bereich
G

sin(α − 0 )
sin(α + 0 )
≤F ≤G
cos 0
cos 0

(c)

liegen muss. Entnehmen wir zum Beispiel für den Fall Stahl
”
auf Stahl“ Tabelle 9.1 den Zahlenwert µ0 = 0,15, so ist 0 =
 0,175 rad,
arctan 0,15 = 0,149. Wählen wir außerdem α = 10◦ =
so folgt aus (c)
G

sin(0,175 + 0,149)
sin(0,175 − 0,149)
≤F ≤G
cos 0,149
cos 0,149

oder
0, 026 G ≤ F ≤ 0, 32 G .
In diesem Zahlenbeispiel darf F die Werte zwischen rund 3% und
30% von G annehmen, ohne dass sich der Klotz bewegt. Für
α < 0 kann nach (c) die Kraft F auch negative Werte annehmen.
Für α = 0 wird der untere Grenzwert von F gerade Null.
Die Neigung der schiefen Ebene ist dann unmittelbar ein Maß für
den Haftungskoeffizienten. Ein Körper bleibt unter der Wirkung
seines Eigengewichtes, d.h. im Sonderfall F = 0, auf einer schiefen
Ebene in Ruhe, solange α ≤ 0 ist.
Auf einer Leiter in der in Abb. 9.6a dargestellten
Lage steht ein Mann vom Gewicht Q.
Bis zu welcher Stelle x kann er steigen, wenn a) nur der Boden
und b) Boden und Wand rauh sind? Die Haftungskoeffizienten
sind jeweils µ0 .

Beispiel 9.2

a) Ist die Wand glatt, so wirken nach Abb. 9.6b in B
nur die Normalkraft NB und in A die Normalkraft NA und die
Haftkraft HA (entgegen der Bewegung, die ohne Haftung eintreten

Lösung

B9.2

258

9 Haftung und Reibung

Abb. 9.6

würde). Aus den Gleichgewichtsbedingungen
→: NB − HA = 0 ,

↑: NA − Q = 0 ,


A : x Q − h NB = 0

berechnen wir die Haftungskraft und die Normalkraft bei A:
x
NA = Q .
HA = Q ,
h
Einsetzen in die Haftbedingung
HA ≤ µ0 NA
liefert die Lösung
x
Q ≤ µ0 Q →
h

x ≤ µ0 h .

9.2

Die Coulombschen Reibungsgesetze

259

Man kann dieses Ergebnis auch auf anderem Wege gewinnen:
im Gleichgewicht müssen die drei Kräfte Q, NB und WA (Resultierende aus NA und HA ) durch einen Punkt gehen (Abb. 9.6b).
Es gilt daher
H
x
tan ϕ = A = .
h
NA
Da die Wirkungslinie der Reaktionskraft WA innerhalb des Haftungskeiles liegen muss (ϕ ≤ 0 ), bleibt die Leiter für
x
= tan ϕ ≤ tan 0 = µ0 → x ≤ µ0 h
h
in Ruhe. Für α ≤ 0 ist wegen x ≤ h tan α die Standsicherheit der
Leiter für alle x gewährleistet.
b) Wenn auch die Wand rauh ist, treten nach Abb. 9.6c vier
unbekannte Reaktionskräfte auf, die aus den drei Gleichgewichtsbedingungen nicht eindeutig ermittelt werden können: das Problem ist statisch unbestimmt. Trotzdem kann man dann aus den
Gleichgewichtsbedingungen
→:

A:

N B = HA ,

↑:

N A + HB = Q ,

x Q = h NB + (h tan α) HB

und den Haftbedingungen
HB ≤ µ0 NB ,

HA ≤ µ0 NA

den zulässigen Bereich von x berechnen. Da jedoch die Auflösung
wegen der Ungleichungen nicht ganz einfach ist, bevorzugen wir
hier die grafische Lösung nach Abb. 9.6d. Dazu zeichnet man an
beiden Berührpunkten die Haftungskeile. Solange die Wirkungslinie q der Last innerhalb des grün markierten Gebietes liegt, in dem
sich beide Haftungskeile überdecken, gibt es eine Vielzahl möglicher Reaktionskräfte, von denen eine Kombination eingezeichnet
ist. Erst wenn q im Bild links von C liegt, tritt Rutschen ein, weil
dann die erforderliche Haftungskraft vom Boden nicht mehr aufgebracht werden kann. Man kann sich leicht überlegen, dass die
Rutschgefahr durch steileres Aufstellen der Leiter verringert bzw.
verhindert werden kann.

260

B9.3

9 Haftung und Reibung

An einer Schraube mit Flachgewinde (Haftungskoeffizient µ0 , Ganghöhe h, Radius r) nach Abb. 9.7a greifen eine
vertikale Kraft F und ein Moment Md an.
Unter welcher Bedingung herrscht Gleichgewicht, wenn Normalkräfte und Haftungskräfte gleichmäßig über das gesamte Schraubengewinde verteilt sind?

Beispiel 9.3

Lösung Die an einem Element E des Gewindeganges angreifenden Normalkräfte dN und Haftungskräfte dH zerlegen wir
nach Abb. 9.7b in vertikale und horizontale Komponenten (aus
der Ganghöhe h und dem abgewickelten Umfang 2 π r lässt sich
der Winkel α berechnen: tan α = h/2 π r). Das Integral über die
vertikalen Komponenten muss der Last F das Gleichgewicht halten:




F = dN cos α− dH sin α = cos α dN −sin α dH . (a)

Das Moment Md muss mit dem aus den horizontalen Komponenten folgenden Moment im Gleichgewicht sein:




Md = r dN sin α+ r dH cos α = r sin α dN + r cos α dH .
Mit (a) folgt daraus

Md
sin α ,
dN = F cos α +
r


dH =

Md
cos α − F sin α .
r

9.3

Seilhaftung und Seilreibung

261

Einsetzen in die Haftbedingung


|dH| ≤ µ0 dN bzw.
|dH| ≤ µ0 dN
liefert





 Md
Md


 r cos α − F sin α ≤ µ0 F cos α + r sin α .
Ist Md /r > F tan α, so folgt aus dieser Ungleichung




 Md
 Md
Md

=
−
F
tan
α
−
F
tan
α
≤
µ
tan
α
F
+
0
 r

r
r
oder mit (9.5) und dem Additionstheorem für die Tangensfunktion
Md
tan α + µ0
tan α + tan 0
≤F
=F
= F tan(α + 0 ) .
r
1 − tan α µ0
1 − tan α tan 0
Analog findet man für Md /r < F tan α aus




 Md


 = F tan α − Md ≤ µ0 F + Md tan α
−
F
tan
α
 r

r
r
die Beziehung
Md
≥ F tan(α − 0 ) .
r
Die Schraube ist daher im Gleichgewicht, solange die Bedingung
F tan(α − 0 ) ≤

Md
≤ F tan(α + 0 )
r

erfüllt ist. Wenn speziell α ≤ 0 (d.h. tan α ≤ µ0 ) ist, so ist
Gleichgewicht ohne ein äußeres Moment (Md = 0) möglich. Die
Haftungskräfte allein halten“ dann die Last F : die Schraube ist
”
selbsthemmend“.
”

9.3 Seilhaftung und Seilreibung
Schlingt man ein Seil, an dessen einem Ende eine große Kraft
angreift, um einen rauhen Pfosten, so kann man mit einer klei-

9.3

262

9 Haftung und Reibung

ds
ds

s
S +dS

S2

S2 > S 1

dN

dH

S

dϕ

S1

a

dϕ/2

dϕ/2

ϕ

α

b

Abb. 9.8

nen Kraft am anderen Ende ein Rutschen des Seiles verhindern.
In Abb. 9.8a umschlingt das Seil den Pfosten mit einem Winkel α. Wir setzen voraus, dass die Kraft S2 am linken Seilende
größer ist als die Kraft S1 am rechten Ende. Um den Zusammenhang zwischen diesen Seilkräften zu berechnen, schneiden wir
nach Abb. 9.8b ein Element der Länge ds aus dem Seil und stellen die Gleichgewichtsbedingungen auf. Dabei berücksichtigen wir,
dass sich die Seilkraft längs ds um den infinitesimalen Betrag
dS ändert. Wegen S2 > S1 würde das Seil ohne Haftung nach
links rutschen: die Haftungskraft dH zeigt daher nach rechts. Die
Gleichgewichtsbedingungen lauten dann:
dϕ
dϕ
− (S + dS) cos
+ dH = 0 ,
→ : S cos
2
2
dϕ
dϕ
↑ : dN − S sin
− (S + dS) sin
= 0.
2
2
Da dϕ infinitesimal ist, wird cos (dϕ/2) ≈ 1, sin (dϕ/2) ≈ dϕ/2;
außerdem ist dS(dϕ/2) von höherer Ordnung klein“. Es bleiben
”
daher
dH = dS ,

dN = S dϕ .

(9.7)

Aus diesen zwei Gleichungen kann man die drei Unbekannten H,
N , S nicht ermitteln: das System ist statisch unbestimmt. Wir betrachten deshalb nur den Fall der Grenzhaftung, bei der Rutschen
gerade noch verhindert wird. Dann ist nämlich nach (9.3)
dH = dH0 = µ0 dN ,
und mit (9.7) folgt

9.3

dH = µ0 S dϕ = dS

→

Seilhaftung und Seilreibung

µ0 dϕ =

263

dS
.
S

Integration über den Bereich, der vom Seil umschlungen wird, liefert
α
S2
dS
S2
→ µ0 α = ln
µ0 dϕ =
S
S1
0

S1

oder
S2 = S1 eµ0 α .

(9.8)

Diese Formel für die Seilhaftung wird nach Leonhard Euler (1707–
1783) oder Johann Albert Eytelwein (1764–1848) benannt.
Wenn S1 > S2 ist, muss man nur die Kräfte umbenennen und
erhält
S1 = S2 eµ0 α

bzw.

S2 = S1 e−µ0 α .

(9.9)

Für fest vorgegebenes S1 besteht daher Gleichgewicht, solange S2
in den Grenzen nach (9.8) und (9.9) bleibt:
S1 e−µ0 α ≤ S2 ≤ S1 eµ0 α .

(9.10)

Für S2 < S1 e−µ0 α tritt Rutschen nach rechts, für S2 > S1 eµ0 α
tritt Rutschen nach links auf.
Um ein Gefühl für das Verhältnis der auftretenden Kräfte zu
bekommen, nehmen wir für eine Zahlenrechnung eine n-fache Umschlingung (d.h. α = 2 π n) und einen Haftungskoeffizienten
µ0 = 0, 3 ≈ 1/π an. Dann wird
eµ0 2nπ ≈ e2n ≈ (7, 5)n

und

S1 =

S2
S2
=
.
eµ0 α
(7, 5)n

So kann man z.B. beim Anlegen eines Schiffes durch mehrmaliges
Umschlingen des Taus mit einer kleinen Kraft S1 einer großen
Abtriebskraft S2 das Gleichgewicht“ halten.
”

264

9 Haftung und Reibung

Die Euler-Eytelweinsche Formel kann man vom Fall der Seilhaftung auf den Fall der Seilreibung übertragen, indem man den
Haftungskoeffizienten µ0 durch den Reibungskoeffizienten µ ersetzt. Dabei kann das Seil gegenüber einer festgehaltenen Rolle
rutschen oder die Rolle rotiert gegen das ruhende Seil. Das Vorzeichen von R findet man dann durch Überlegungen analog zu
Abb. 9.4. Wenn man die Richtung von R ermittelt hat, weiß man
auch, welche Seilkraft größer ist, und man erhält

B9.4

für S2 > S1 :

S2 = S1 eµα ,

für S2 < S1 :

S2 = S1 e−µα .

(9.11)

Auf die zylindrische Walze in Abb. 9.9a wirkt ein
Drehmoment Md . Um die Walze ist ein rauhes Band (Haftungskoeffizient µ0 ) geschlungen, das mit einem Hebel verbunden ist.
Wie groß muss F mindestens sein, damit die Walze in Ruhe
bleibt (Bandbremse)?

Beispiel 9.4

l
F

F
A
S2

S1
Md
B

Md
r
b

a

Abb. 9.9

Lösung Wir schneiden nach Abb. 9.9b das Band und tragen die

Schnittkräfte ein. Momentengleichgewicht für den Hebel und für
die Walze liefert:

A:

B:

l F − 2 r S1 = 0

→

Md + (S1 − S2 )r = 0

→

l
F,
2r
Md
.
S1 = S2 −
r
S1 =

Da Md links herum dreht, muss für Gleichgewicht S2 > S1 gel-

9.3

Seilhaftung und Seilreibung

265

ten. Mit dem Umschlingungswinkel α = π folgt dann aus (9.8) die
Haftgrenzbedingung
S2 = S1 eµ0 π .
Damit ergibt sich
Md
Md
→ S1 =
,
r
r(eµ0 π − 1)
und die Mindestkraft wird
2r
Md
1
F =
S1 = 2
.
l
l eµ0 π − 1
S1 = S1 eµ0 π −

Auf einer rotierenden Walze liegt nach Abb. 9.10a
ein Klotz vom Gewicht G, der durch ein Seil gehalten wird.
Wie groß ist die Seilkraft bei A, wenn zwischen Klotz bzw. Seil
und Walze Reibung herrscht (Reibungskoeffizient µ)?

Beispiel 9.5

11
00
00
11
00
11
A

G

α

SA

α
SB
R

Drehrichtung

Abb. 9.10

N

a

G

α

b

Lösung Wir trennen die Körper. Infolge der Bewegung der Walze

wirkt die Reibungskraft auf den Klotz in der gezeichneten Richtung (Abb. 9.10b), und es ist SA > SB . Gleichgewicht am Klotz
liefert
 : SB = G sin α + R ,

 : N = G cos α .

Mit den Reibungsgesetzen (9.11) und (9.6) für Seil und Klotz
SA = SB eµα ,

R = µN

finden wir durch Einsetzen
SA = (G sin α + R) eµα = G(sin α + µ cos α) eµα .

B9.5

266

9.4

9 Haftung und Reibung

9.4 Zusammenfassung
• Die Haftungskraft H ist eine Reaktionskraft. Sie kann bei statisch bestimmten Systemen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden (Beachte: der Richtungssinn von H kann
im Freikörperbild beliebig angenommen werden).
• Der Betrag der Haftkraft H kann eine Grenzhaftkraft H0 nicht
überschreiten. Ein Körper haftet an einem anderen, wenn die
Haftbedingung
|H| ≤ H0 = µ0 N
erfüllt ist.
• Die Reibungskraft R ist eine eingeprägte Kraft. Ihre Größe ist
durch das Coulombsche Reibungsgesetz
R = µN
gegeben. Sie ist entgegen der (relativen) Geschwindigkeit gerichtet.
• Bei Seilhaftung wird der Haftgrenzfall durch die Formel nach
Euler-Eytelwein beschrieben:
S2 = S1 eµ0 α .
• Bei Seilreibung sind die Seilkräfte ebenfalls durch die EulerEytelweinsche Formel miteinander verknüpft, wobei nur der
Haftungskoeffizient µ0 durch den Reibungskoeffizienten µ ersetzt werden muss.

Anhang
Vektoren, Gleichungssysteme

A

A Vektoren, Gleichungssysteme
A.1

A.1 Elemente der Vektorrechnung
Physikalische Größen, die durch ihren Betrag und ihre Richtung
festgelegt sind, heißen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektor
durch einen Pfeil dargestellt, dessen Länge ein Maß für den Betrag ist (Abb. A.1). Als Symbole für Vektoren verwenden wir fette
Buchstaben, zum Beispiel A. Der Betrag des Vektors A wird durch
|A| oder kurz durch A angegeben. Ein Vektor mit dem Betrag Eins
heißt Einheitsvektor e.
A = Ae
A

e
Abb. A.1

B = λA
λ>0

Abb. A.2

Multipliziert man einen Vektor A mit einer skalaren Größe λ,
so erhält man den Vektor B = λ A (Abb. A.2) mit |B| = |λ||A|.
Demnach lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag
und einem gleichgerichteten Einheitsvektor schreiben (Abb. A.1):
A = Ae.

(A.1)

Die Addition zweier Vektoren A und B ergibt den Summenvektor
C =A+B.

(A.2)

Er kann zeichnerisch durch Bilden eines Parallelogramms ermittelt
werden (Abb. A.3).
Dieses Parallelogramm kann auch folgendermaßen gedeutet werden: ein gegebener Vektor C wird in zwei Vektoren A und B mit
den vorgegebenen Wirkungslinien a und b zerlegt. Die Vektoren
A und B heißen dann Komponenten des Vektors C bezüglich der
Richtungen a und b. In der Ebene ist die Zerlegung eines Vek-

A.1

Elemente der Vektorrechnung

269

b

B

C = A+B

a

A

Abb. A.3

tors nach zwei verschiedenen Richtungen mit Hilfe des Parallelogramms eindeutig möglich. Entsprechend lässt sich im Raum die
Zerlegung nach drei nicht in einer Ebene liegenden Richtungen
eindeutig durchführen.
Des bequemeren Rechnens wegen stellen wir Vektoren häufig
in einem kartesischen Koordinatensystem dar (Abb. A.4). Die jeweils aufeinander senkrecht stehenden Achsrichtungen (orthogonale Achsen) x, y und z des Koordinatensystems werden durch
die Einheitsvektoren ex , ey und ez gekennzeichnet. Die Vektoren
ex , ey und ez bilden dabei in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (man kann Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten
Hand in dieser Reihenfolge mit den Richtungen von ex , ey und ez
zur Deckung bringen).
z
Az
ez
α
ex

Ax
Abb. A.4

γ

A
β

ey

Ay
y

x

Der Vektor A kann in seine Komponenten Ax , Ay und Az
bezüglich der drei Achsrichtungen zerlegt werden:
A = Ax + Ay + Az .

(A.3)

270

A. Vektoren, Gleichungssysteme

Nach (A.1) gilt für die Komponenten
Ax = Ax ex ,

Ay = Ay ey ,

Az = Az ez .

(A.4)

Damit wird aus (A.3)
A = Ax ex + Ay ey + Az ez .

(A.5)

Die Maßzahlen Ax , Ay und Az heißen Koordinaten des Vektors A.
Sie werden oft auch Komponenten des Vektors genannt, obwohl
die Komponenten ja die Vektoren Aj (j = x, y, z) sind. Ordnet
man die Koordinaten in einer Spalte
⎞
⎛
Ax
⎟
⎜
A = ⎝ Ay ⎠
(A.6)
Az
an, so nennt man diese Darstellung von A einen Spaltenvektor.
Häufig ist es zweckmäßiger, die Koordinaten in einer Zeile statt
in einer Spalte anzuordnen. Diese Darstellung von A nennt man
einen Zeilenvektor. Das Vertauschen von Zeilen und Spalten wird
als Transponieren bezeichnet und durch ein hochgestelltes T “
”
gekennzeichnet. Damit schreibt man den Vektor A in der Form
A = (Ax , Ay , Az )T .

(A.7)

Durch die Angabe seiner drei Koordinaten ist ein Vektor eindeutig
bestimmt.
Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras zu

(A.8)
|A| = A = A2x + A2y + A2z .
Die Richtung von A wird durch die Winkel α, β und γ charakterisiert (Abb. A.4). Wir lesen ab:
cos α =

Ax
,
A

cos β =

Ay
,
A

cos γ =

Az
.
A

(A.9)

Mit (A.8) ist
A2y
A2
A2x
+
+ z2 = 1 ,
2
2
A
A
A

(A.10)

A.1

Elemente der Vektorrechnung

271

und es gilt daher
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .

(A.11)

Die drei Winkel α, β, γ sind also nicht unabhängig voneinander.
Die Vektorgleichung
A=B

(A.12)

ist gleichwertig mit den drei skalaren Gleichungen
Ax = Bx ,

Ay = By ,

Az = Bz .

(A.13)

Zwei Vektoren sind somit gleich, wenn sie in den drei Koordinaten
übereinstimmen.
Im folgenden werden einige Rechenregeln unter Verwendung
der Komponentenschreibweise zusammengestellt.
A.1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Die Multiplikation eines Vektors A mit einem Skalar λ (Abb. A.2)
liefert mit (A.3) und (A.4) den Vektor
B = λ A = A λ = λ(Ax + Ay + Az )
= λ Ax ex + λ Ay ey + λ Az ez .

(A.14)

Ein Vektor wird demnach mit einer Zahl multipliziert, indem jede
Koordinate des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird. Für
λ > 0 bleibt dabei der Richtungssinn erhalten, während er sich
für λ < 0 umkehrt. Im Sonderfall λ = −1 erhält man den Vektor
B = −A, der aus dem Vektor A unter Beibehaltung des Betrages
durch Umkehr des Richtungssinns entsteht. Für λ = 0 erhält man
den Nullvektor 0.
A.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren

Für die Summe zweier Vektoren A und B erhält man
C = A+B = (Ax ex +Ay ey +Az ez ) + (Bx ex +By ey +Bz ez )
= (Ax + Bx ) ex + (Ay + By ) ey + (Az + Bz ) ez
= Cx ex + Cy ey + Cz ez .

(A.15)

272

A. Vektoren, Gleichungssysteme

Daraus folgt
Cx = Ax + Bx ,

Cy = Ay + By ,

Cz = Az + Bz .

(A.16)

Zwei Vektoren werden also addiert, indem man jeweils die entsprechenden Koordinaten addiert.
Bei der Subtraktion zweier Vektoren folgt mit
C = A − B = A + (−B)

(A.17)

für die Koordinaten
Cx = Ax − Bx ,

Cy = Ay − By ,

Cz = Az − Bz .

(A.18)

A.1.3 Skalarprodukt

Das skalare Produkt (inneres Produkt) zweier Vektoren A und B,
die nach Abb. A.5a den Winkel ϕ einschließen, ist definiert durch
A · B = A B cos ϕ .

(A.19)

Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Skalar (kein Vektor!).
Das skalare Produkt lässt sich auf verschiedene Weise deuten
(Abb. A.5b):
a) Betrag von A mal Betrag von B mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels,
b) Betrag von A mal senkrechter Projektion von B auf A,
c) Betrag von B mal senkrechter Projektion von A auf B.
A cos ϕ
B
ϕ
a

B
ϕ

A

B
A
B cos ϕ

ϕ

A

b

Abb. A.5

Das Skalarprodukt ist positiv, wenn die beiden Vektoren einen
spitzen Winkel einschließen, während es bei einem stumpfen Winkel negativ ist. Im Sonderfall orthogonaler Vektoren (ϕ = π/2) ist
das Skalarprodukt Null.

A.1

Elemente der Vektorrechnung

273

Aus der Definition (A.19) folgt
A · B = B ·A.

(A.20)

Die Reihenfolge der Vektoren darf beim skalaren Produkt vertauscht werden (Kommutativgesetz).
In Komponentendarstellung wird das Skalarprodukt
A · B = (Ax ex + Ay ey + Az ez )·(Bx ex + By ey + Bz ez ) . (A.21)
Unter Beachtung von
ex · ex = ey · ey = ez · ez = 1 ,
ex · e y = e y · e z = ez · e x = 0

(A.22)

finden wir
A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .

(A.23)

Für den Sonderfall B = A erhalten wir wegen ϕ = 0 aus (A.19)
√
(A.24)
A · A = A2 oder A = A · A .
A.1.4 Vektorprodukt

Beim Vektorprodukt (äußeres Produkt oder Kreuzprodukt) zweier
Vektoren A und B verwenden wir ein ד als Multiplikationszei”
chen:
C = A×B.

(A.25)

Das Produkt ist folgendermaßen definiert:
a) Der Vektor C steht auf A und auf B senkrecht (Abb. A.6).
b) Der Betrag von C ist gleich der von A und B aufgespannten
Fläche:
|C| = C = A B sin ϕ .

(A.26)

Dabei ist ϕ der von A und B eingeschlossene Winkel.
c) Die Vektoren A, B und C bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem.

274

A. Vektoren, Gleichungssysteme

C

B
ϕ

C = AB sin ϕ

A

Abb. A.6

Daraus folgt
A × B = −B × A.

(A.27)

Das Kommutativgesetz gilt für das Vektorprodukt nicht.
Sind zwei Vektoren parallel (ϕ = 0), so verschwindet nach b)
ihr Vektorprodukt.
Unter Beachtung von
e x × ex = 0 ,

ex × e y = ez ,

ex × ez = −ey ,

ey × ex = −ez ,

ey × e y = 0 ,

ey × ez = ex ,

ez × ex = ey ,

ez × ey = −ex ,

ez × e z = 0

(A.28)

wird
C = A×B = (Ax ex + Ay ey + Az ez )×(Bx ex + By ey + Bz ez )
= (Ay Bz − Az By ) ex + (Az Bx − Ax Bz ) ey

(A.29)

+ (Ax By − Ay Bx ) ez .
Damit folgen die Koordinaten des Vektors C zu
Cx = Ay Bz − Az By ,
Cy = Az Bx − Ax Bz ,

(A.30)

Cz = Ax By − Ay Bx .
Das Vektorprodukt kann auch in Form der Determinante


e e e 
 x y z 


C = A × B =  Ax Ay Az 
(A.31)


 Bx By Bz 

A.2

Lineare Gleichungssysteme

275

geschrieben werden. In der ersten Zeile stehen dabei die Einheitsvektoren ex , ey und ez , während die Koordinaten der Vektoren
A und B die zweite und die dritte Zeile bilden. Entwicklung der
Determinante nach der ersten Zeile liefert (vgl. (A.29))






A A 
A A 
A A 
 x z
 x y
 y z
C=
 ex − 
 ey + 
 ez
 Bx Bz 
 Bx By 
 By Bz 
(A.32)
= (Ay Bz − Az By ) ex + (Az Bx − Ax Bz ) ey
+ (Ax By − Ay Bx ) ez .
Das doppelte Vektorprodukt A × (B × C) ist ein Vektor, der in
der Ebene liegt, die von B und C aufgespannt wird. Es errechnet
sich nach der Beziehung
A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C ,

(A.33)

die sich durch Anwendung von (A.30) bestätigen läßt.

A.2

A.2 Lineare Gleichungssysteme
Bei der Behandlung von Problemen aus der Mechanik und aus
anderen Fachgebieten wird man häufig auf Systeme von linearen Gleichungen geführt. Beispiele aus der Statik sind die Ermittlung von Lagerreaktionen bei einem statisch bestimmt gelagerten
Tragwerk oder die Berechnung der Stabkräfte in einem statisch
bestimmten Fachwerk. So liefern die Gleichgewichtsbedingungen
für einen Balken beim ebenen Problem drei Gleichungen für die
drei unbekannten Lagerreaktionen. Bei einem räumlichen Fachwerk mit k Knoten führen sie dagegen auf 3k = s + r Gleichungen
für die unbekannten s Stabkräfte und r Lagerreaktionen.
Wir betrachten das System
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
.........
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn

(A.34)

276

A. Vektoren, Gleichungssysteme

von n linearen inhomogenen Gleichungen für die n Unbekannten
x1 , x2 , . . . , xn (z.B. die Lagerreaktionen und/oder die Stabkräfte).
Die Koeffizienten ajk sowie die rechten Seiten“ bk seien bekannt.
”
Unter Verwendung der Matrizen
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎞
⎛
x1
b1
a11 a12 . . . a1n
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜ x2 ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟
A=⎜
.. ⎟ , x = ⎜ .. ⎟ , b = ⎜ .. ⎟ (A.35)
⎜ .. ..
⎝ . ⎠
⎝ . ⎠
⎝ . .
. ⎠
an1 an2 . . . ann

xn

bn

lässt sich (A.34) auch kurz in der Form
Ax = b

(A.36)

schreiben. Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix A von
Null verschieden ist, d.h. wenn gilt


 a11 a12 . . . a1n 




 a21 a22 . . . a2n 


det A =  .
(A.37)
..
..  = 0 ,
 ..

.
.


a

n1 an2 . . . ann
dann sind die n Gleichungen (A.34) linear unabhängig, und das
System hat die eindeutige Lösung
x = A−1 b .

(A.38)

Man nennt A−1 die inverse Matrix zur Koeffizientenmatrix A. Sie
ist durch A−1 A = 1 definiert, wobei
⎞
⎛
1 0 ... 0
⎟
⎜
⎜0 1 ... 0⎟
⎟
⎜
(A.39)
1=⎜. .
.. ⎟
⎝ .. ..
.⎠
0 0

... 1

die Einheitsmatrix ist. Da die Bestimmung der Inversen durch

A.2

Lineare Gleichungssysteme

277

Handrechnung meist aufwendig ist, gehen wir hierauf nicht ein.
Sie lässt sich allerdings mit Hilfe von Programmen wie Matlab
oder Mathematica immer leicht ermitteln.
Die praktische Bestimmung der Unbekannten kann mit dem
Gaußschen Algorithmus (Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) oder
mit der Cramerschen Regel (Gabriel Cramer, 1704-1752) erfolgen.
Beim Gaußschen Algorithmus wird das Gleichungssystem (A.34)
durch systematisches Eliminieren von Unbekannten in das äquivalente System














a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
.........


(A.40)



ann xn = bn
übergeführt. Hieraus lassen sich – beginnend mit der letzten Gleichung – die Unbekannten der Reihe nach ermitteln. Als Beispiel
hierzu betrachten wir das System
2 x1 +

5 x2 +

8 x3 +

4 x4 = 3 ,

6 x1 + 16 x2 + 22 x3 + 13 x4 = 9 ,
4 x1 + 14 x2 + 28 x3 + 10 x4 = 4 ,
10 x1 + 23 x2 + 84 x3 + 25 x4 = 22
von vier Gleichungen für vier Unbekannte. Nun wird die erste
Gleichung (Zeile) mit −3 multipliziert und zur zweiten addiert
sowie die erste Zeile mit −2 multipliziert und zur dritten addiert
usw. Auf diese Weise wird die Unbekannte x1 aus der zweiten bis
vierten Gleichung eliminiert:
2 x1 + 5 x2 +
x2 −

8 x3 + 4 x4 =

3,

2 x3 +

0,

x4 =

4 x2 + 12 x3 + 2 x4 = −2 ,
− 2 x2 + 44 x3 + 5 x4 =

7.

Auf die gleiche Weise gehen wir anschließend bei der Elimination
von x2 und x3 vor. Es bietet sich dabei an, den Algorithmus nach

278

A. Vektoren, Gleichungssysteme

folgendem Schema durchzuführen, bei dem nur die Koeffizienten
der Gleichungen angeschrieben werden:
x1

x2

x3

x4

b

2

5

8

4

3

6

16

22

13

9

4

14

28

10

4

10

23

84

25

22

0

1

−2

1

0

0

4

12

2

−2

0

−2

44

5

7

0

0

20 −2

−2

0

0

40

7

7

0

0

0

11

11

(a)

(b)

(c)
(d)

Mit den Koeffizienten aus (a) bis (d) ergibt sich dann das gestaf”
felte System“ nach (A.40):
2 x1 + 5 x2 + 8 x3 + 4 x4 =

3,

x2 − 2 x3 +

0,

x4 =

20 x3 − 2 x4 = −2 ,
11 x4 = 11 .
Hieraus erhält man schrittweise – beginnend mit der letzten Zeile:
x4 = 1 ,

x3 = 0 ,

x2 = −1 ,

x1 = 2 .

Nach der Cramerschen Regel folgen die Unbekannten aus
xk =

det (Ak )
,
det A

k = 1, . . . , n .

(A.41)

Dabei ergibt sich die Determinante det (Ak ) aus der Determinante
der Matrix A, indem man die k-te Spalte durch b ersetzt. Danach
erhält man zum Beispiel beim Gleichungssystem

A.2

Lineare Gleichungssysteme

279

a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2
die beiden Unbekannten zu




 b1 a12 


 b2 a22 
b a − a12 b2

 = 1 22
,
x1 =


a
11 a22 − a12 a21
 a11 a12 


 a21 a22 


 a11

 a21
x2 = 

 a11

 a21



b1 

b2 
a b − b1 a21
 = 11 2
.

a11 a22 − a12 a21
a12 

a22 

Es sei angemerkt, dass sich die Cramersche Regel für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und höchstens noch für drei Gleichungen mit drei Unbekannten eignet. Insbesondere bei höherer
Gleichungsanzahl wird jedoch der Gaußsche Algorithmus bevorzugt. Hingewiesen sei auch darauf, dass bei längeren Rechnungen
durch Abrunden größere Genauigkeitsverluste auftreten können.
Wie man diese Rundungsfehler klein hält, soll hier nicht erläutert
werden.

Englische Fachausdrücke
Englisch

Deutsch

active force
arch
area force

eingeprägte Kraft
Bogen
Flächenkraft

bar
beam
belt friction
bending moment
bound vector
boundary condition
branching point

Stab, Pendelstütze
Balken
Seilreibung
Biegemoment
gebundener Vektor
Randbedingung
Verzweigungspunkt

cantilever beam
center of forces
center of gravity
center of mass
center (centroid) of an area

einseitig eingespannter Balken
Kräftemittelpunkt
Schwerpunkt
Massenmittelpunkt
Flächenmittelpunkt,
Flächenschwerpunkt
Linienschwerpunkt
Volumenschwerpunkt
eingespannt
im Uhrzeigersinn
Reibungskoeffizient
Haftungskoeffizient
Komponente
Druck
Einzelkraft
zentrale Kräftegruppe
konservative Kraft
Koordinate
ebene Kräftegruppe
entgegen dem Uhrzeigersinn
Kräftepaar
kritische Last
Vektorprodukt

center (centroid) of a line
center (centroid) of a volume
clamped
clockwise
coefficient of kinetic friction
coefficient of static friction
component
compression
concentrated force
concurrent forces
conservative force
coordinate
coplanar forces
counterclockwise
couple
critical load
cross product

282

Englische Fachausdrücke

cross section
curved beam

Querschnitt
Bogen

decomposition of a force
degree of freedom
distributed force
dot product

Zerlegung einer Kraft
Freiheitsgrad
verteilte Belastung
Skalarprodukt

energy
equilibrium
equilibrium condition
equilibrium position
external force

Energie
Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingung
Gleichgewichtslage
äußere Kraft

first moment of an area
fixed vector
force
frame
free body diagram
free vector
friction
friction law

Flächenmoment erster Ordnung,
statisches Moment
gebundener Vektor
Kraft
Rahmen
Freikörperbild
freier Vektor
Reibung
Reibungsgesetz

gravitiy

Schwerkraft

hinge
homogeneous

Gelenk, gelenkiges Lager
homogen

inclined plane

schiefe Ebene

joint

Gelenk

kinematically determinate
kinematically indeterminate
kinetic friction

kinematisch bestimmt
kinematisch unbestimmt
Reibung

law of action and reaction
law of friction
lever arm
limiting friction
line of action
line load

Wechselwirkungsgesetz
Reibungsgesetz
Hebelarm
Grenzhaftung
Wirkungslinie
Streckenlast

Englische Fachausdrücke

283

load

Last

Macauley brackets
matching condition
Maxwell (-Cremona) diagram
method of joints
method of sections
moment
moment of a couple
moment of a force

Klammer-Symbol
Übergangsbedingung
Cremona-Plan
Knotenpunktverfahren
Rittersches Schnittverfahren
Moment
Moment eines Kräftepaars
Moment einer Kraft

Newton’s law
normal force

Newtonsches Axiom
Normalkraft

overhanging beam

Kragträger

parallelogram of forces
pin
plate
point mass
polygon of forces
position vector
potential
potential energy
pressure
principle of the lever
principle of virtual displacements
principle of virtual work

Kräfteparallelogramm
Knoten
Platte
Massenpunkt
Krafteck
Ortsvektor
Potential
potentielle Energie
Druck
Hebelgesetz
Prinzip der virtuellen Verrückungen
Prinzip der virtuellen Arbeit

reaction force
reference point
resolution of a force
restraint
resultant
rigid body
roller (bearing)
rope

Reaktionskraft
Bezugspunkt
Zerlegung einer Kraft
Bindung
Resultierende
starrer Körper
Rollenlager
Seil

scalar product
shear(ing) force

Skalarprodukt
Querkraft

284

Englische Fachausdrücke

shell
sign convention
simple beam

statically determinate
statically indeterminate
statics
string
structure
superposition
support
symmetry

Schale
Vorzeichenkonvention
beidseitig gelenkig gelagerter
Balken
Einzelkraft
linienflüchtiger Vektor
Feder
Federkonstante
Stabilität
stabil
Haftung
statisches Moment,
Flächenmoment erster Ordnung
statisch bestimmt
statisch unbestimmt
Statik
Seil
Tragwerk
Überlagerung
Lager
Symmetrie

tension
tensile force
three-hinged arch
torsion
truss
twisting moment

Zug
Zugkraft
Dreigelenkbogen
Torsion
Fachwerk
Torsionsmoment

uniform
unstable

gleichförmig
instabil

vector product
virtual displacement
virtual work
volume force

Vektorprodukt
virtuelle Verrückung
virtuelle Arbeit
Volumenkraft

weight
work

Gewicht
Arbeit

single force
sliding vector
spring
spring constant
stability
stable
static friction
statical moment of an area

Englische Fachausdrücke

Deutsch

Englisch

Arbeit
äußere Kraft

work
external force

Balken
beidseitig gelenkig gelagerter
Balken
Bezugspunkt
Biegemoment
Bindung
Bogen

beam
simple beam

Cremona-Plan

Maxwell (-Cremona) diagram

Dreigelenkbogen
Druck

three-hinged arch
compression, pressure

ebene Kräftegruppen
eingeprägte Kraft
eingespannt
einseitig eingespannter Balken
Einzelkraft
Energie
entgegen dem Uhrzeigersinn

coplanar forces
active force
clamped
cantilever beam
concentrated force, single force
energy
counterclockwise

Fachwerk
Feder
Federkonstante
Flächenkraft
Flächenmittelpunkt
Flächenmoment erster Ordnung
Flächenschwerpunkt
freier Vektor
Freiheitsgrad
Freikörperbild

truss
spring
spring constant
area force
centroid (center) of an area
first moment of an area,
statical moment of an area
centroid (center) of an area
free vector
degree of freedom
free body diagram

gebundener Vektor
Gelenk
Gewicht
gleichförmig

bound vector, fixed vector
hinge, joint
weight
uniform

reference point
bending moment
restraint
curved beam, arch

285

286

Englische Fachausdrücke

Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingung
Gleichgewichtslage
Grenzhaftung

equilibrium
equilibrium condition
equilibrium position
limiting friction

Haftung
Haftungskoeffizient
Haftungskraft
Hebelarm
Hebelgesetz
homogen

static friction
coefficient of static friction
static frictional force
lever arm
principle of the lever
homogeneous

im Uhrzeigersinn
instabil

clockwise
unstable

kinematisch bestimmt
kinematisch unbestimmt
Klammer-Symbol
Knoten
Knotenpunktverfahren
Komponente
konservative Kraft
Koordinate
Kraft
Kräftemittelpunkt
Kräftepaar
Kräfteparallelogramm
Krafteck
Kragträger
kritische Last

kinematically determinate
kinematically indeterminate
Macauley brackets
pin
method of joints
component
conservative force
coordinate
force
center of forces
couple
parallelogram of forces
polygon of forces
overhanging beam
critical load

Lager
Last
linienflüchtiger Vektor
Linienkraft
Linienschwerpunkt

support
load
sliding vector
line load
centroid of a line

Massenmittelpunkt
Massenpunkt
Moment
Moment einer Kraft

center of mass
point mass
moment
moment of a force

Englische Fachausdrücke

287

Moment eines Kräftepaars

moment of a couple

Newtonsches Axiom
Normalkraft

Newton’s law
normal force

Ortsvektor

position vector

Parallelogramm der Kräfte
Platte
Potential
potentielle Energie
Prinzip der virtuellen Arbeit
Prinzip der virtuellen
Verrückungen

parallelogram of forces
plate
potential
potential energy
principle of virtual work
principle of virtual displacements

Querkraft
Querschnitt

shear(ing) force
cross section

Rahmen
Randbedingung
Reaktionskraft
Reibung
Reibungsgesetz
Reibungskoeffizient
Reibungskraft
Resultierende
Rittersches Schnittverfahren
Rollenlager

frame
boundary condition
reaction force
kinetic friction
law of friction, friction law
coefficient of kinetic friction
frictional force, friction
resultant
method of sections
roller (bearing)

Schale
schiefe Ebene
Schwerkraft
Schwerpunkt
Seil
Seilreibung
Skalarprodukt
Stab
stabil
Stabilität
starrer Körper
Statik

shell
inclined plane
gravity
center of gravity
rope, string
belt friction
scalar product, dot product
bar
stable
stability
rigid body
statics

288

Englische Fachausdrücke

statisches Moment
statisch bestimmt
statisch unbestimmt
Streckenlast
Superposition
Symmetrie

first moment of an area,
statical moment of an area
statically determinate
statically indeterminate
line load
superposition
symmetry

Torsion
Torsionsmoment
Tragwerk

torsion
twisting moment
structure

Übergangsbedingung
Überlagerung

matching condition
superposition

Vektorprodukt
Verzweigungspunkt
virtuelle Arbeit
virtuelle Verrückung
Volumenkraft
Volumenmittelpunkt
Vorzeichenkonvention

vector product, cross product
branching point
virtual work
virtual displacement
volume force
centroid of a volume
sign convention

Wechselwirkungsgesetz
Wirkungslinie

law of action and reaction
line of action

zentrale Kräftegruppe
Zerlegung einer Kraft

concurrent forces
resolution (decomposition) of a
force
tension
tensile force

Zug
Zugkraft

Sachverzeichnis

289

Sachverzeichnis

Arbeit 213 ff.
–, virtuelle 221
Arbeitssatz 221
Archimedes 48
äußerlich statisch bestimmt
Axiom 1
– , Newtonsches 15

139

Balken 115, 173
– , Gelenk- 135
Balkenachse 169
Berührungsebene 31
Bezugspunkt 52
Biegemoment 170, 208
Bindung 116
Bogen 115, 171, 201 ff.
– , Dreigelenk- 132
Coulombsche Reibungsgesetze
251 ff.
Cramersche Regel 277, 278
Cremona-Plan 157
Drehfederkonstante 220
Dreigelenkbogen 132
Durchlaufträger 136
Dyname 82 ff.
Dynamik 3
Einheitsvektor 9, 41
Einspannung 118, 124
Energie, potentielle 219 ff.
Erstarrungsprinzip 12, 130, 133
Euler 263
Eytelwein 263

Fachwerk 146 ff.
– , einfaches 149
Faser, gestrichelte 171, 202
Feder-konstante 220
– , Dreh- 220
Flächen-moment 100
– -schwerpunkt 99
Föppl-Symbol 193
Freiheitsgrad 56, 77, 116, 123, 138,
225, 228
Freikörperbild 12
Freischneiden 12
Gaußscher Algorithmus 277
Gelenk 127
– -balken 135
– -kraft 127
Gerber-Träger 136, 230, 231
Gestrichelte Faser 171, 202
Gleichgewicht 28, 39, 59, 223 ff.,
234 ff.
– , indifferentes 235
Gleichgewichts-bedingungen 28, 39,
51, 56 ff., 76 ff., 223
– -gruppe 28
Gleichgewichtslage 223
– , instabile 236
– , Stabilität einer 234
Gleitreibung 250
Grafoanalytische Lösung 31, 36
Haftbedingung 252
Haftung 248 ff.
– , Seil- 261 ff.

290

Sachverzeichnis

Haftungs-kegel 253
– -keil 253
– -koeffizient 251, 252
– -kraft 250
– -winkel 253
Hauptpol 141
Hebelarm 52
Hebelgesetz 48, 222
Homogener Körper 96
Innerlich statisch unbestimmt 139
Joule

216

Kinematik 2, 225
Kinematische Bestimmtheit 119,
129, 138 ff., 148
Kinetik 3
Klammer-Symbol 193 ff.
Knoten 147
Knotenpunktverfahren 151 ff.
Kraft 7 ff.
– , äußere 12
– , Angriffspunkt einer 8
– , Betrag 7, 9
– -eck 22
– , eingeprägte 11
– , Einzel- 11, 169
– , Feder- 220
– , Flächen- 11
– , Gelenk- 127
– , Gewichts- 219
– , Haftungs- 250
– , innere 12
– -komponenten 25
– , konservative 219
– , Linien- 11
– , Normal- 170, 208
– , Potential- 219
– , Quer- 170, 208
– , Reaktions- 11, 116, 229, 250

– , Reibungs- 250
– , Richtung einer 8, 9
– , Schnitt- 229
– -schraube 83
– , Schwer- 7
– , Stab- 148 ff.
– -systeme, ebene 54
– -systeme, zentrale 20
– , Tangential- 31
– -vektor 9
– , Volumen- 11
– -winder 82
– , Wirkungslinie einer 8
– , Zwangs- 12
Kräfte-dreieck 22
– -gruppen, ebene 20
– -gruppen, räumliche 37, 70
– -gruppen, zentrale 20, 37
– -mittelpunkt 91
– -paar 48, 59
– , parallele 47, 66
– -parallelogramm 21
– -plan 22, 46, 66 ff.
– -polygon 22
– -zerlegung 24
– -zusammensetzung 21, 37
Kragträger 178
Kritische Last 242
Lageplan 22, 66 ff.
Lager 115 ff.
– , dreiwertige 118
– , einwertige 116
– , Fest- 117
– , fünfwertiges 124
– , gelenkiges 117, 123
– , Gleit- 116
– -kraft 117
– -reaktionen 114, 116
– , Rollen- 116

Sachverzeichnis

– , sechswertiges 124
– , vierwertiges 124
– , zweiwertige 117
Linienschwerpunkt, 110
Macauley 193
Massenmittelpunkt 94, 96
Massenpunkt 1
Moment 49
– , Betrag 49
– , Biege- 170, 208
– , Drehsinn 49
– eines Kräftepaares 49
– einer Kraft 52
– , statisches 100
– , Torsions- 208
Momentanpol 140, 141
Momenten-bezugspunkt 52
– -gleichgewichtsbedingung 73
– -linie 175 ff.
– -vektor 70
Nebenpol 141
Newton 7, 15
– -sches Axiom 15
Normalkraft 31, 170, 208
Nullstab 152
Ortsvektor

71, 215

Parallelführung 117, 127, 183, 190
Parallelogramm der Kräfte 21
Pendel-stab 127
– -stütze 116, 123
Platte 115
Pol des Kraftecks 67
Pol-plan 141
– -strahl 67, 140
Potential 215 ff.
– der Drehfeder 221
– der Federkraft 220

291

– des Gewichts 219
Prinzip der virtuellen Verrückungen 222 ff.
Querkraft 170, 208
– -gelenk 127, 190
– -linie 175
Rahmen 115, 171, 201 ff.
Randbedingungen 182
Räumliche Statik 37, 70
Reaktionskraft 250
Rechtsschraube 70
Reduktion 21, 54
Reibung 248 ff.
– , Seil- 261 ff.
Reibungs-gesetz 254
– -koeffizient 252, 254
– -kraft 250
Resultierende 21, 54, 59
Rittersches Schnittverfahren

162

Schale 115
Scheibe 115
Schiebehülse 117, 124, 183
Schnitt-größen 169 ff.
– -kraftlinien 174
– -prinzip 13, 121, 127, 169, 207
– , Ritterscher 162
– -ufer 170
Schwer-achsen 100
– -kraft 7
– -punkt 90 ff.
Seil 30
– -eck 65 ff.
– -haftung 261 ff.
– -polygon 66
– -reibung 261 ff.
– -strahlen 67
Skalarprodukt 272
Stab 30, 115

292

Sachverzeichnis

– -kraft 148
– , Null- 152
– -werk 147 ff.
Stabilität 234 ff.
Stabilitätskriterium 236
Starrer Körper 1, 9
Statik 3
Statisch unbestimmt 120, 138
– , innerlich 139
Statische Bestimmtheit 29, 118 ff.,
124, 126 ff., 136, 147 ff.
Statisches Moment 100
Streckenlast 11
Superposition 195
Tangentialkraft 31
Torsionsmoment 208
Totalresultierende 84
Tragwerke, ebene 115, 127
– , mehrteilige 126
– , räumliche 123, 207 ff.
Träger, Gerber- 136
– , Krag- 178
Übergangsbedingungen

187

Vektor 8, 268 ff.
– -addition 268, 271
– , Betrag 268, 270
– , Einheits- 268
– , freier 8, 73
– , gebundener 8
– -komponenten 268 ff.
– -koordinaten 270
– , linienflüchtiger 10
– , Orts- 71, 215
– -produkt 71, 273
Verbindungselemente 126
Verzweigungspunkt 243
Virtuelle Arbeit 221
– Verrückung 221

Volumenmittelpunkt 96
Vorzeichenkonvention für Schnittgrößen 170 ff., 202, 208
– für Stabkräfte 36, 153
Wechselwirkungsgesetz
127, 170
Wirkungslinie 8
Zentralachse 82, 84
Zweigelenkbogen 132

14, 115,

Kapitel 1
Grundbegriffe

1

1 Grundbegriffe
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Die Kraft .........................................................
Eigenschaften und Darstellung der Kraft ..................
Der starre Körper...............................................
Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip .......................
Wechselwirkungsgesetz ........................................
Dimensionen und Einheiten ..................................
Lösung statischer Probleme, Genauigkeit..................
Zusammenfassung ..............................................

7
7
9
11
14
15
16
18

Lernziele: Die Statik ist die Lehre von den Kräften an
Körpern, die sich im Gleichgewicht befinden. Um statische Probleme untersuchen zu können, müssen wir uns zunächst mit einigen
Grundbegriffen, Erfahrungssätzen und Arbeitsprinzipien beschäftigen. Besondere Bedeutung haben dabei das Schnittprinzip, das
Wechselwirkungsgesetz sowie das Freikörperbild“. Sie werden bei
”
der Lösung von nahezu allen Problemen der Statik angewendet.

1.1

Die Kraft

7

1.1 Die Kraft

1.1

Den Begriff der Kraft entnehmen wir unserer täglichen Erfahrung.
Obwohl man Kräfte nicht sehen oder direkt beobachten kann, sind
uns doch ihre Wirkungen geläufig: eine Schraubenfeder verlängert
sich, wenn wir ein Gewicht daran hängen oder wenn wir daran
ziehen. Die Muskelspannung vermittelt uns dabei ein qualitatives
Gefühl für die Kraft in der Feder. Ein Stein wird beim freien
Fall durch die Schwerkraft, beim Abwerfen durch die Muskelkraft
beschleunigt. Wir spüren den Druck auf die Handfläche, wenn
wir einen darauf liegenden Körper heben. Gehen wir davon aus,
dass uns die Schwerkraft und ihre Wirkungen aus der Erfahrung
bekannt sind, so können wir die Kraft als eine Größe bezeichnen,
die mit der Schwerkraft vergleichbar ist.
Die Statik untersucht ruhende Körper. Aus Erfahrung wissen
wir, dass ein Körper, der nur der Wirkung der Schwerkraft überlassen ist, sich bewegt: er fällt. Damit ein Stein nicht fällt, sich also im Gleichgewicht befindet, müssen wir auf ihn einwirken, zum
Beispiel durch unsere Muskelkraft. Wir können somit auch sagen:
Eine Kraft ist eine physikalische Größe, die sich mit der
Schwerkraft ins Gleichgewicht setzen lässt.

1.2 Eigenschaften und Darstellung der Kraft
Die Kraft ist durch drei Eigenschaften bestimmt: Betrag, Richtung
und Angriffspunkt.
Der Betrag gibt die Größe der wirkenden Kraft an. Ein qualitatives Gefühl dafür vermittelt die unterschiedliche Muskelspannung, wenn wir verschiedene Körper heben oder wenn wir mit
unterschiedlicher Intensität gegen eine Wand drücken. Gemessen
werden kann der Betrag F einer Kraft, indem man sie mit der
Schwerkraft, d.h. mit geeichten Gewichten vergleicht: befindet sich
in Abb. 1.1 der Körper vom Gewicht G im Gleichgewicht, so gilt
F = G. Als Maßeinheit für die Kraft verwenden wir das Newton“
”
oder abgekürzt N (vgl. Abschnitt 1.6).

1.2

8

1 Grundbegriffe

1111
0000
F
α

G

f

Abb. 1.1

Dass die Kraft eine Richtung hat, ist uns ebenfalls geläufig.
Während die Schwerkraft immer lotrecht nach unten wirkt, können wir mit der Hand senkrecht oder schräg auf eine Tischplatte
drücken. Die Kiste auf der glatten Unterlage in Abb. 1.2 wird sich
in verschiedene Richtungen bewegen, je nachdem in welcher Richtung man auf sie mit der Kraft F einwirkt. Die Richtung der Kraft
können wir durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn auf
ihr beschreiben. In Abb. 1.1 ist die Wirkungslinie f der Kraft F
unter dem Winkel α zur Horizontalen geneigt. Der Richtungssinn
wird durch den Pfeil ausgedrückt.
Schließlich wirkt die Kraft an einem bestimmten Angriffspunkt.
Abhängig davon, wo sich dieser Punkt A in Abb. 1.2 an der Kiste befindet, wird die Kraft unterschiedliche Bewegungen verursachen.
A

F

A

F

A

A

F
F
Abb. 1.2

Durch Betrag und Richtung ist mathematisch ein Vektor bestimmt. Im Unterschied zu einem freien Vektor, der im Raum
beliebig parallel verschoben werden kann, ist die Kraft an ihre
Wirkungslinie gebunden und besitzt einen Angriffspunkt:
Die Kraft ist ein gebundener Vektor.
Entsprechend der Symbolik der Vektorrechnung schreiben wir für
die Kraft F und für den Betrag der Kraft |F | oder F . In Zeichnungen stellen wir die Kraft wie in den Abbildungen 1.1 und 1.2
durch einen Pfeil dar. Da aus dem Pfeilbild der Vektorcharakter

1.3

Der starre Körper

9

z
Fz

Abb. 1.3

ez
α

γ

ex
Fx

ey

F
β
Fy

y

x

meist eindeutig hervorgeht, begnügt man sich oft damit, nur den
Betrag F der Kraft an den Pfeil zu schreiben.
In kartesischen Koordinaten (vgl. Abb. 1.3 und Anhang A) können wir den Kraftvektor mit Hilfe der Einheitsvektoren ex , ey , ez
darstellen als
F = F x + F y + F z = Fx ex + Fy ey + Fz ez .

(1.1)

Für den Betrag F gilt nach dem Satz von Pythagoras im Raum

(1.2)
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .
Die Richtungswinkel und damit die Richtung der Kraft folgen aus
cos α =

Fx
,
F

cos β =

Fy
,
F

cos γ =

Fz
.
F

(1.3)

1.3 Der starre Körper
Als starren Körper bezeichnen wir einen Körper, der unter der
Wirkung von Kräften keine Deformationen erfährt; die gegenseitigen Abstände beliebiger Körperpunkte bleiben immer gleich. Dies
stellt natürlich eine Idealisierung eines realen Körpers dar, die allerdings oft mit hinreichender Näherung erfüllt ist. Aus Erfahrung
mit solchen Körpern weiß man, dass eine Einzelkraft entlang ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden kann, ohne dass die
Wirkung auf diesen Körper als Ganzes verändert wird.

1.3

10

1 Grundbegriffe

F
f

A1

F
f

A1

F

deformierbarer
Körper
f

A2

F

starrer Körper
f

A2

Abb. 1.4

Wir veranschaulichen dies in Abb. 1.4. Während bei der deformierbaren Kugel die Wirkung der Kraft vom Angriffspunkt
abhängt, ist es bei der starren Kugel hinsichtlich der Wirkung
der Kraft F auf den ganzen Körper gleichgültig, ob an der Kugel
gezogen oder gedrückt wird. Diese Tatsache drücken wir durch die
Sätze aus:
Die Wirkung einer Kraft auf einen starren Körper ist von der
Lage des Angriffspunktes auf der Wirkungslinie unabhängig.
Die Kräfte an starren Körpern sind linienflüchtige Vektoren: sie können entlang der Wirkungslinie beliebig verschoben werden.

Eine Parallelverschiebung von Kräften ändert ihre Wirkung jedoch wesentlich. So zeigt die Erfahrung, dass wir einen Körper
vom Gewicht G im Gleichgewicht halten können, wenn wir ihn
geeignet (unterhalb des Schwerpunktes) durch die Kraft F mit
F = G unterstützen (Abb. 1.5a). Verschieben wir die Kraft F
parallel, so kommt es zu einer Drehwirkung, und der Körper wird
rotieren (Abb. 1.5b).
f

f
G

G

F

F
a

b

Abb. 1.5

1.4

Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip

11

1.4

1.4 Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip
Die Kraft mit Wirkungslinie und Angriffspunkt stellt eine Idealisierung dar. Wir bezeichnen sie als Einzelkraft. Man kann sie
sich weitgehend realisiert vorstellen, wenn ein Körper über einen
dünnen Faden oder eine Nadelspitze belastet wird. In der Natur
sind nur zwei Arten von Kräften bekannt: die Volumenkräfte und
die Flächenkräfte.
Als Volumenkräfte bezeichnet man Kräfte, die über das Volumen eines Körpers verteilt sind. Ein Beispiel hierfür ist das Gewicht. Jedes noch so kleine Teilchen (infinitesimales Volumenelement dV ) des Gesamtvolumens hat ein bestimmtes Teilgewicht
dG (Abb. 1.6a). Die Summe aller dieser im Volumen kontinuierlich
verteilten Kräfte dG ergibt das Gesamtgewicht G. Andere Beispiele für Volumenkräfte sind magnetische und elektrische Kräfte.
Flächenkräfte treten in der Berührungsfläche zweier Körper
auf. So sind beispielsweise der Wasserdruck p auf eine Staumauer
(Abb. 1.6b), die Schneelast auf einem Dach oder der Druck eines
Körpers auf der Handfläche flächenförmig verteilt.
Als Idealisierung findet in der Mechanik noch die Linienkraft
(Streckenlast) Verwendung. Es handelt sich dabei um Kräfte, die
entlang einer Linie kontinuierlich verteilt sind. Drückt man mit
einer Schneide gegen einen Körper und sieht von der endlichen
Dicke der Schneide ab, so wirkt entlang der Berührungslinie die
Linienkraft q (Abb. 1.6c).
q
dV

p

dG
Abb. 1.6

a

1111111
0000000
b

c

Kräfte können auch noch nach anderen Gesichtspunkten eingeteilt werden. So unterscheidet man eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte. Als eingeprägt bezeichnet man die bei einem mechanischen System physikalisch vorgegebenen Kräfte, wie zum Beispiel
das Gewicht, den Winddruck oder eine Schneelast.

12

1 Grundbegriffe

Reaktionskräfte oder Zwangskräfte entstehen durch die Einschränkung der Bewegungsfreiheit, d.h. durch die Zwangsbedingungen, denen ein System unterliegt. Auf einen fallenden Stein
wirkt nur die eingeprägte Gewichtskraft. Hält man den Stein in
der Hand, so ist seine Bewegungsfreiheit eingeschränkt; auf den
Stein wird dann von der Hand zusätzlich eine Zwangskraft ausgeübt.
Reaktionskräfte kann man sich nur veranschaulichen, indem
man den Körper von seinen geometrischen Bindungen löst. Man
nennt dies Freimachen oder Freischneiden. In Abb. 1.7a ist ein
Balken durch die eingeprägte Kraft G belastet. Die Lager A und
B verhindern, dass sich der Balken bewegt: sie wirken mit Reaktionskräften auf ihn. Wir machen diese Reaktionskräfte, die wir der
Einfachheit halber ebenfalls mit A und B bezeichnen, im sogenannten Freikörperbild (Abb. 1.7b) sichtbar. In ihm sind anstelle
der geometrischen Bindungen durch die Lager die dort auf den
Körper wirkenden Kräfte eingezeichnet. Durch dieses Freima”
chen“ werden die entsprechenden Kräfte einer Analyse zugänglich
gemacht (vgl. Kapitel 5). Dies gilt auch dann, wenn durch das
Freischneiden ein mechanisches System beweglich wird. In diesem
Fall denken wir uns bei der Bestimmung der Reaktionskräfte das
System in der gegebenen Lage erstarrt“: Erstarrungsprinzip (vgl.
”
Abschnitt 5.3).
G

G
B

A
System
a

A
b

Freikörperbild

B
Abb. 1.7

Eine weitere Einteilung erfolgt durch die Begriffe äußere Kraft
und innere Kraft. Eine äußere Kraft wirkt von außen auf ein mechanisches System. Sowohl eingeprägte Kräfte als auch Reaktionskräfte sind äußere Kräfte. Die inneren Kräfte wirken zwischen den
Teilen eines Systems. Auch sie kann man sich nur durch gedankliches Zertrennen oder Schneiden des Körpers veranschaulichen.
Führt man in Abb. 1.8a durch den Körper in Gedanken einen

1.4

Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip

13

Schnitt, so müssen anstelle der Bindung in der Schnittfläche die
flächenförmig verteilten inneren Kräfte eingezeichnet werden (Abb.
1.8b). Dem liegt die durch die Erfahrung bestätigte Hypothese
zugrunde, dass die mechanischen Gesetze auch für Teile eines Systems gültig sind. Wir betrachten danach das System zunächst als
einen Gesamtkörper, der sich in Ruhe befindet. Nach dem gedachten Schnitt fassen wir es dann als aus zwei Teilen bestehend auf,
die über die Schnittflächen gerade so aufeinander einwirken, dass
sich jeder Teil für sich im Gleichgewicht befindet. Man bezeichnet
diese Hypothese, durch die die inneren Kräfte erst berechenbar
werden, als Schnittprinzip. Es gilt nicht nur für ein System, das
sich im Gleichgewicht befindet, sondern auch allgemein für den
Fall der Bewegung.
G

G

1

2

Schnitt

A

a

B

A

b

B

Abb. 1.8

Die Einteilung nach äußeren und inneren Kräften hängt davon ab, welches System wir untersuchen wollen. Fassen wir den
Gesamtkörper in Abb. 1.8a als das System auf, so sind die durch
den Schnitt freigelegten Kräfte innere Kräfte; sie wirken ja zwischen den Teilen des Systems. Betrachten wir dagegen nur den
Teilkörper  oder nur den Teilkörper  in Abb. 1.8b als unser
System, so sind die entsprechenden Kräfte jetzt äußere Kräfte.
Wie wir in Abschnitt 1.3 festgestellt haben, kann eine Kraft
hinsichtlich ihrer Wirkung auf einen starren Körper entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Dies bedeutet insbesondere,
dass wir die Linienflüchtigkeit der Kraft bei der Analyse der äußeren Kräfte nutzen können. Dagegen ist bei den inneren Kräften
dieses Prinzip im allgemeinen nicht anwendbar. Bei ihnen wird
ja der Körper gedanklich geschnitten oder geteilt, und es spielt

14

1 Grundbegriffe

dann doch eine Rolle, ob eine äußere Kraft auf den einen oder den
anderen Teilkörper wirkt.
Die Bedeutung der inneren Kräfte für den berechnenden Ingenieur ist in der Tatsache begründet, dass ihre Größe ein Maß für
die Materialbeanspruchung ist.

1.5

1.5 Wechselwirkungsgesetz
Ein Gesetz, das wir aus Erfahrung als richtig akzeptieren, ist das
Wechselwirkungsgesetz. Dieses Axiom besagt, dass zu jeder Kraft
immer eine gleich große Gegenkraft gehört, eine Kraft allein also
nie existieren kann. Stemmen wir uns mit der Hand gegen eine
Wand (Abb. 1.9a), so übt die Hand eine Kraft F auf die Wand
aus. Eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft wirkt aber
auch von der Wand auf unsere Hand. Wir können die entsprechenden Kräfte wieder sichtbar machen, indem wir die beiden Körper,
Wand und Hand, an der Kontaktstelle trennen. Zu beachten ist,
dass die Kräfte an zwei verschiedenen Körpern angreifen. Ganz
analog hat aufgrund der Gravitation ein Körper auf der Erde ein

a

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111

111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
Schnitt

F

G
G

F

b

Abb. 1.9

Gewicht G. Mit der gleich großen Kraft wirkt jedoch der Körper
auch auf die Erde: beide ziehen sich gegenseitig an (Abb. 1.9b).
Wir formulieren diesen Sachverhalt im Satz:
Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich
groß, entgegengesetzt gerichtet und liegen auf der gleichen
Wirkungslinie.
Dieses Prinzip, das man kurz als

1.6

Dimensionen und Einheiten

15

actio = reactio
aussprechen kann, stellt das dritte Newtonsche Axiom dar (vgl.
Band 3). Es gilt sowohl für Nah- als auch für Fernkräfte und ist
unabhängig davon, ob die Körper ruhen oder bewegt werden.

1.6 Dimensionen und Einheiten
In der Mechanik beschäftigen wir uns mit den drei physikalischen
Grundgrößen Länge, Zeit und Masse; hinzu kommt die Kraft als
wichtige, im physikalischen Sinn aber abgeleitete Größe. Alle anderen physikalischen Größen wie zum Beispiel Geschwindigkeit,
Impuls oder Energie lassen sich hierdurch ausdrücken. Der geometrische Raum, in dem sich mechanische Vorgänge abspielen,
ist dreidimensional. Der Einfachheit halber werden wir uns jedoch manchmal auf ebene oder auf eindimensionale Probleme beschränken.
Verbunden mit Länge, Zeit, Masse und Kraft sind ihre Dimensionen [l], [t], [M ] und [F ], die entsprechend dem internationalen Einheitensystem SI (Système International d’Unités) in den
Grundeinheiten Meter (m), Sekunde (s) und Kilogramm (kg) sowie der abgeleiteten Einheit Newton (N) angegeben werden. Eine
Kraft vom Betrag 1 N erteilt einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 ; formelmäßig gilt 1 N = 1 kg m/s2 . Volumenkräfte
haben die Dimension Kraft pro Volumen [F/l3 ] und werden z.B.
in Vielfachen der Einheit N/m3 gemessen. Analog haben Flächenbzw. Linienkräfte die Dimensionen [F/l2 ] bzw. [F/l] und die Einheiten N/m2 bzw. N/m.
Der Betrag einer physikalischen Größe wird vollständig angegeben durch die Maßzahl und die Einheit. So bedeuten die Angaben
F = 17 N bzw. l = 3 m eine Kraft von siebzehn Newton bzw. eine
Länge von drei Metern. Mit Einheiten kann man genauso rechnen
wie mit Zahlen. Es gilt zum Beispiel mit den obigen Größen F · l =
17 N · 3 m = 17 · 3 Nm = 51 Nm. Bei physikalischen Gleichungen
haben jede Seite und jeder additive Term die gleiche Dimension;
dies sollte zur Kontrolle von Gleichungen immer beachtet werden.

1.6

16

1 Grundbegriffe

Bei sehr großen bzw. sehr kleinen Zahlenwerten werden den
Einheiten Meter, Sekunde usw. die Bezeichnungen k (Kilo = 103 ),
M (Mega = 106 ), G (Giga = 109 ) bzw. m (Milli = 10−3 ), µ (Mikro
= 10−6 ), n (Nano = 10−9 ) vorangestellt (Beispiel: 1 kN = 103 N).

1.7

1.7 Lösung statischer Probleme, Genauigkeit
Die Lösung von Ingenieuraufgaben aus dem Bereich der Mechanik
bedarf einer überlegten Vorgehensweise, die in gewissem Maße von
der Art der Problemstellung abhängt. Wichtig ist jedoch in jedem
Fall, dass sich ein Ingenieur verständlich und klar ausdrückt, da
er sowohl die Formulierung als auch die Lösung eines Problems
Fachleuten oder Laien mitzuteilen hat und von ihnen verstanden
werden muss. Diese Klarheit ist auch für den eigenen Verständnisprozeß wichtig, denn klare, saubere Formulierungen bergen in
sich schon den Keim der richtigen Lösung. Obwohl es, wie schon
erwähnt, kein festes Schema zur Behandlung von mechanischen
Problemen gibt, so müssen doch meist die folgenden Schritte getan werden:
1. Formulierung des Ingenieurproblems.
2. Erstellen eines mechanischen Ersatzmodells, Überlegungen zur
Güte der Abbildung der Realität auf das Modell.
3. Lösung des mechanischen Problems am Ersatzmodell. Dies
schließt ein:
– Feststellen der gegebenen und der gesuchten Größen. Dies
geschieht in der Regel mit Hilfe einer Skizze des mechanischen Systems. Den Unbekannten ist ein Symbol zuzuweisen.
– Zeichnen des Freikörperbildes mit allen angreifenden Kräften.
– Aufstellen der mechanischen Gleichungen (z.B. der Gleichgewichtsbedingungen).
– Aufstellen geometrischer Beziehungen (falls benötigt).
– Auflösung der Gleichungen nach den Unbekannten. Zuvor
muss geprüft werden, ob die Zahl der Gleichungen mit der
Zahl der Unbekannten übereinstimmt.

1.7

Lösung statischer Probleme, Genauigkeit

17

– Kenntlichmachen des Resultats.
4. Diskussion und Deutung der Lösung.
Wir werden in der Technischen Mechanik meist nicht vom Ingenieurproblem ausgehen, sondern uns auf den dritten Punkt, die
Lösung von mechanischen Problemen am Modell, konzentrieren.
Trotzdem dürfen wir nicht aus dem Auge verlieren, dass unsere
Modelle Abbilder realer Körper oder Systeme sind, deren Verhalten wir manchmal anschaulich aus der Erfahrung heraus beurteilen können. Es ist deshalb immer zweckmäßig, die Ergebnisse
einer Rechnung mit der Anschauung zu überprüfen.
Was die Genauigkeit von Ergebnissen anbelangt, so müssen
wir zwischen der numerischen Genauigkeit unserer Rechnungen
am Modell und der Treffsicherheit der ingenieurmäßigen Aussage
über das Verhalten realer Körper unterscheiden. Das numerische
Ergebnis hängt dabei von der Genauigkeit der Eingangsdaten und
von der Rechengenauigkeit ab. So können Ergebnisse nie präziser
als die Eingangsdaten sein. Sie sollten auch nie in einer Weise angegeben werden (z.B. viele Stellen hinter dem Komma), die eine
nicht vorhandene Genauigkeit vortäuscht.
Die Treffsicherheit der Ingenieuraussage ist von der Güte des
Modells abhängig. So können wir zum Beispiel den Wurf eines
Steines beschreiben, indem wir den Luftwiderstand berücksichtigen oder ihn vernachlässigen; die Ergebnisse werden natürlich
voneinander abweichen. Es ist die Aufgabe des Ingenieurs, ein Modell gerade so zu bilden, dass es die für sein Problem erforderliche
Genauigkeit auch liefern kann.

18

1.8

1 Grundbegriffe

1.8 Zusammenfassung
• Die Statik befasst sich mit Kräften, die sich im Gleichgewicht
befinden.
• Eine an einem starren Körper angreifende Kraft ist ein Vektor,
der entlang seiner Wirkungslinie beliebig verschoben werden
kann.
• Eine eingeprägte Kraft ist durch eine physikalische Gesetzmäßigkeit vorgegeben. Beispiel: Gewichtskraft im Erdschwerefeld.
• Eine Reaktionskraft entsteht durch die Einschänkung der Bewegungsfreiheit eines Körpers.
• Schnittprinzip: Reaktionskräfte und innere Kräfte können
durch gedankliches Schneiden freigelegt und damit einer Analyse zugänglich gemacht werden.
• Freikörperbild: Darstellung aller eingeprägten Kräfte und Reaktionskräfte am freigeschnittenen Körper. Beachte: bewegliche Körperteile können als erstarrt“ angesehen werden (Er”
starrungsprinzip).
• Wechselwirkungsgesetz: actio = reactio.
• Physikalische Grundgrößen sind Länge, Masse und Zeit. Die
Kraft ist eine abgeleitete Größe. Es gilt: 1 N= 1 kg m/s2.
• In der Mechanik werden idealisierte Modelle untersucht, welche
die wesentlichen Eigenschaften der realen Körper oder Systemen haben. Beispiele für Idealisierungen: starrer Körper, Einzelkraft.

Kapitel 2
Kräfte mit gemeinsamem
Angriffspunkt

2

2 Kräfte mit gemeinsamem
Angriffspunkt
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene ............
Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung ...........................................................
Gleichgewicht in der Ebene ..................................
Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen..................
Zentrale Kräftegruppen im Raum ...........................
Zusammenfassung ..............................................

21
24
28
29
37
44

Lernziele: Wir untersuchen in diesem Kapitel Einzelkräfte, die einen gemeinsamen Angriffspunkt haben. Solche Kraftsysteme bezeichnet man auch als zentrale Kraftsysteme oder zentrale
Kräftegruppen. Es sind in diesem Zusammenhang immer Kräfte gemeint, die an einem Körper angreifen; Kräfte alleine, ohne
Wirkung auf einen Körper, gibt es nicht. Ist der Körper starr, so
müssen die Kräfte nicht tatsächlich in einem Punkt angreifen, sondern ihre Wirkungslinien müssen sich nur in einem Punkt schneiden. Die Kräfte sind in diesem Fall ja linienflüchtig und können
entlang ihrer Wirkungslinien in den Schnittpunkt verschoben werden. Liegen alle Kräfte in einer Ebene, so spricht man von einer
ebenen Kräftegruppe.
Die Studierenden sollen lernen, wie man die Resultierende einer zentralen Kräftegruppe bestimmt und wie man die Gleichgewichtsbedingungen bei konkreten Aufgaben formuliert. Hierfür
müssen sie in der Lage sein, das Schnittprinzip sachgerecht anzuwenden und ein Freikörperbild anzufertigen.

2.1

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

21

2.1 Zusammensetzung von Kräften in der Ebene
Greifen an einem Punkt A eines Körpers zwei Kräfte F 1 und
F 2 an, so können diese beiden Kräfte durch eine einzige Kraft
R gleichwertig ersetzt werden (Abb. 2.1a). Diese Erfahrungstatsache kommt im Satz vom Parallelogramm der Kräfte zum Ausdruck. Der Satz besagt, dass den Kräften F 1 und F 2 eine Kraft
R äquivalent ist, die sich in Größe und Richtung als Diagonale eines durch F 1 und F 2 aufgespannten Parallelogramms ergibt. Die
Kraft R bezeichnet man als Resultierende von F 1 und F 2 . Wir
können dieses Axiom auch folgendermaßen aussprechen:
Die Wirkung zweier an einem Punkt angreifenden Kräfte F 1
und F 2 ist äquivalent der Wirkung einer Kraft R, die sich
aus der Parallelogrammkonstruktion ergibt.
Die geometrische Konstruktion entspricht der Vektoraddition (vgl.
Anhang A.1)
R = F1 + F2 .

(2.1)
F2

F1

F1
R

R

A
F2
Abb. 2.1

F2

a

R
F1

b

Haben wir es mit n Kräften zu tun, deren Wirkungslinien alle
durch einen Punkt A gehen (Abb. 2.2a), so ergibt sich die Resultierende durch aufeinander folgende Anwendung des Parallelogrammgesetzes, d.h. als Vektorsumme aller n Kräfte:
R = F1 + F2 + ... + Fn =



Fi.

(2.2)

Die Reihenfolge der Addition ist dabei beliebig. Die Bestimmung
der Resultierenden bezeichnet man auch als Reduktion: eine Kräftegruppe wird auf eine einzige äquivalente Kraft reduziert.

2.1

22

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

b

Fn

a
F2

A

F1

F1
a

Fn

R

Fi

F 1 +F 2 +F i
F 1 +F 2

Fi

F2
b

Abb. 2.2

Führt man die Addition zweier Kräfte grafisch aus, so genügt
es, nur ein halbes Parallelogramm, d.h. ein Kräftedreieck zu zeichnen (Abb. 2.1b). Dies hat zwar den Nachteil, dass man nicht mehr
sieht, dass die Wirkungslinien der Kräfte durch einen Punkt gehen. Dem steht jedoch als Vorteil gegenüber, dass man die geometrische Konstruktion auf beliebig viele Kräfte ausdehnen kann. Die
n Kräfte F i werden in beliebiger Reihenfolge hintereinander angetragen, und R ergibt sich als Vektor, der vom Anfangspunkt a zum
Endpunkt b des Kräftepolygons oder Kraftecks zeigt (Abb. 2.2b).
Die grafische Addition von Kräften in der Ebene erfolgt zweckmäßig mit einem Lageplan und einem Kräfteplan. Der Lageplan
ist dabei die maßstäbliche Darstellung der geometrischen Gegebenheiten einer Aufgabe; er enthält bei einer zentralen Kräftegruppe nur die Wirkungslinien der gegebenen Kräfte. Im Kräfteplan erfolgt das maßstäbliche Aneinanderfügen der Kräfte unter
Berücksichtigung ihrer Richtungen. Hierzu ist die Angabe eines
Kräftemaßstabes (z.B. 1 cm =
 10 N) notwendig.
Manchmal löst man Aufgaben analytisch mit Hilfe einer Skizze
des Kraftecks (siehe Beispiele 2.1 und 2.4). Dann ist kein Maßstab
für das Krafteck erforderlich.
B2.1

Beispiel 2.1 An einem Haken greifen nach Abb. 2.3a zwei Kräfte
F1 und F2 an. Der Winkel zwischen ihren Wirkungslinien sei α.
Es sind die Größe und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen.
Lösung Die Antwort folgt unmittelbar aus einer Skizze des Kräfte-

dreiecks (Abb. 2.3b). Bekannt sind die Längen“ F1 , F2 und der
”

2.1

1
0
0
1
0
1
0
1
0
1

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

23

F1
R
α

β

π−α

F2
a

Abb. 2.3

F2

F1
α

b

Winkel α. Der Kosinussatz liefert somit
R2 = F12 + F22 − 2 F1 F2 cos (π − α)
bzw.
R=


F12 + F22 + 2 F1 F2 cos α .

Für den Winkel β, der die Richtung der Wirkungslinie von R
gegenüber F2 angibt, erhält man aus dem Sinussatz
sin β
F1
=
sin (π − α)
R
oder nach Einsetzen von R mit sin (π − α) = sin α
F1 sin α
sin β =  2
.
F1 + F22 + 2 F1 F2 cos α

An einer Ringschraube wirken vier Kräfte (F1 =
12 kN, F2 = 8 kN, F3 = 18 kN, F4 = 4 kN) unter vorgegebenen
Richtungen (α1 = 45◦ , α2 = 100◦, α3 = 205◦, α4 = 270◦ ) gegenüber der Horizontalen (Abb. 2.4a).
Es sollen die Größe und die Richtung der Resultierenden grafisch bestimmt werden.

Beispiel 2.2

Lösung Wir zeichnen den Lageplan, in dem die Wirkungslinien

f1 , . . . , f4 der Kräfte F1 , . . . , F4 in richtiger Richtung, d.h. unter
den gegebenen Winkeln α1 , . . . , α4 eingetragen werden (Abb. 2.4b).
Für den Kräfteplan wählen wir zunächst einen Maßstab und fügen
dann alle Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtungen maßstäblich aneinander (Abb. 2.4c). Als Ergebnis für den Betrag und

B2.2

24

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

5 kN
F2
α3

f2

F1

α2

r

F3

f1

α1

F3
α4

F2

F4

αR

f3
F4

Lageplan

Kräfteplan

b

a

F1

R

f4
c

Abb. 2.4

die Richtung der Resultierenden R lesen wir im Rahmen der Zeichengenauigkeit ab:
R = 10, 5 kN ,

αR = 155◦ .

Die Wirkungslinie r von R übertragen wir noch in den Lageplan.
Je nachdem in welcher Reihenfolge die Kräfte im Kräfteplan
aneinander gefügt werden, erhält das Krafteck ein anderes Aussehen. Größe und Richtung von R sind jedoch in jedem Fall gleich.

2.2

2.2 Zerlegung von Kräften in der Ebene,
Komponentendarstellung
Ähnlich wie man Kräfte zusammensetzen kann, kann man sie auch
zerlegen. Wollen wir eine Kraft R durch zwei Kräfte mit den vorgegebenen zentralen Wirkungslinien f1 und f2 ersetzen (Abb. 2.5a),
so zeichnen wir das Kräftedreieck, indem wir durch den Anfangsund den Endpunkt von R je eine der vorgegebenen Richtungen
f2
R

a

F1

F2

f1

R
F1
b

R
F2
Abb. 2.5

2.2

Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung

25

legen. Aus dem Krafteck, das in zwei verschiedenen Varianten gezeichnet werden kann, folgen eindeutig die gesuchten Kräfte nach
Betrag und Richtungssinn (Abb. 2.5b).
Die Kräfte F 1 und F 2 bezeichnet man als Komponenten der
Kraft R bezüglich der Richtungen f1 und f2 . Wir folgern also: in
der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft nach zwei verschiedenen
Richtungen eindeutig möglich. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Zerlegung einer Kraft in der Ebene nach mehr als
zwei Richtungen nicht mehr eindeutig erfolgen kann: es existieren
dann beliebig viele verschiedene Zerlegungsmöglichkeiten.
Fy

y

F
α

ey
Abb. 2.6

ex

Fx
x

In vielen Fällen ist es zweckmäßig, die Kräfte entsprechend ihrer Darstellung in kartesischen Koordinaten in Komponenten zu
zerlegen, die aufeinander senkrecht stehen. Die Richtungen der
Komponenten sind in diesem Fall durch die x- und die y-Achse
festgelegt (Abb. 2.6). Mit den Einheitsvektoren ex und ey lassen
sich die Komponenten schreiben als
F x = Fx ex ,

F y = Fy ey ,

(2.3)

und F wird
F = F x + F y = Fx ex + Fy ey .

(2.4)

Darin sind Fx und Fy die Koordinaten des Vektors F .
Es sei angemerkt, dass Fx und Fy ungenau in der Ausdrucksweise meist auch als Komponenten von F bezeichnet werden. Wie
schon in Abschnitt 1.2 erwähnt, hat es sich daneben eingebürgert,
vor allem bei Aufgaben oder konkreten Problemen, in denen der
Vektorcharakter von Kräften eindeutig ist, an das Pfeilbild nur
noch Beträge oder Koordinaten zu schreiben.
Aus Abb. 2.6 liest man ab

26

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Fx = F cos α ,

F = Fx2 + Fy2 ,

Fy = F sin α ,
Fy
tan α =
.
Fx

(2.5)

Hat man die Resultierende einer zentralen ebenen Kräftegruppe
zu ermitteln, so kann man die Vektoraddition so durchführen, dass
man an Stelle der Kräfte ihre Komponenten addiert. Wir machen
uns dies am Beispiel von zwei Kräften klar (Abb. 2.7). Bezeichnen
wir die x- und die y-Komponenten der Kräfte F i mit F ix = Fix ex
und F iy = Fiy ey , so gilt
R = Rx ex + Ry ey = F 1 + F 2 = F 1x + F 1y + F 2x + F 2y
= F1x ex +F1y ey +F2x ex +F2y ey = (F1x +F2x) ex +(F1y +F2y)ey .
y
F 2y

R
F2
F 1y

F1
F 1x

F 2x

x

Abb. 2.7

Die Koordinaten der Resultierenden folgen somit zu
Rx = F1x + F2x ,

Ry = F1y + F2y .

Im allgemeinen Fall für n Kräfte erhalten wir aus


R = Rx ex + Ry ey =
Fi =
(Fix ex + Fiy ey )




=
Fix ex +
Fiy ey

(2.6)

für die Koordinaten von R
Rx =



Fix ,

Ry =



Fiy .

(2.7)

2.2

Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung

27

Betrag und Richtung errechnen sich nach (2.5):
R=


Rx2 + Ry2 ,

tan αR =

Ry
.
Rx

(2.8)

Der Vektorgleichung (2.2) entsprechen im ebenen Fall also die
beiden skalaren Gleichungen (2.7).
Beispiel 2.3 Das Beispiel 2.2 soll mit der Komponentendarstellung
gelöst werden.
y
F2
α2

F1

α3
α1

F3
α4
Abb. 2.8

x

F4

Lösung Wir wählen dazu das Koordinatensystem so, dass die xAchse mit der Horizontalen zusammenfällt, von der aus die Winkel
gemessen werden (Abb. 2.8). Es gilt dann

Rx = F1x + F2x + F3x + F4x
= F1 cos α1 + F2 cos α2 + F3 cos α3 + F4 cos α4
= 12 cos 45◦ + 8 cos 100◦ + 18 cos 205◦ + 4 cos 270◦
= − 9, 22 kN .
Analog ergibt sich
Ry = F1y + F2y + F3y + F4y
= F1 sin α1 +F2 sin α2 +F3 sin α3 +F4 sin α4 = 4, 76 kN ,
und es werden


R = Rx2 + Ry2 = 9, 222 + 4, 762 = 10, 4 kN ,

B2.3

28

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

tan αR =

2.3

Ry
4.76
= −0.52
=−
Rx
9.22

→

αR = 152, 5◦ .

2.3 Gleichgewicht in der Ebene
Wir untersuchen nun die Frage, unter welchen Bedingungen ein
Körper im Gleichgewicht ist. A